Criterii de divizibilitate cu 2, 3, 5, 9 și 10, cu exemple

Pe scurt

Un număr natural nenul $a$ este divizor al lui $b$ dacă $b$ se împarte exact la $a$ , fără rest. Scriem $a ∣ b$ . De exemplu, $4 ∣ 20$ fiindcă $20 = 4 \cdot 5$ . Același fapt se poate spune și invers: $20$ este un multiplu al lui $4$ . Nu confunda divizorul cu câtul împărțirii. Numărul $1$ este divizor al oricărui număr natural, orice număr nenul este divizor al lui însuși, iar $0$ este multiplu al oricărui număr natural nenul, fiindcă $0 = a \cdot 0$ .

Un număr are mai mulți divizori: $12$ are divizorii $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $6$ și $12$ . Ca să nu uiți niciunul, îi cauți în perechi, de la $1$ în sus: $12 = 1 \cdot 12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$ . Dacă $a ∣ b$ și $a ∣ c$ , atunci $a$ divide și suma $b + c$ , și diferența $b - c$ (cu $b \geq c$ ). De pildă, $6 ∣ 24$ și $6 ∣ 18$ , deci $6 ∣ 42$ și $6 ∣ 6$ .

Divizibilitatea ajută la împărțirea obiectelor în grupe egale. Dacă ai $24$ de cartonașe, le poți pune în $6$ grupe de câte $4$ , fiindcă $4 ∣ 24$ . Nu le poți pune în $5$ grupe egale de cartonașe întregi, fiindcă împărțirea la $5$ lasă rest.

Exemplu rezolvat. Verifică dacă $126$ este divizibil cu $2$ și cu $3$ .

Ultima cifră este $6$ , deci $2 ∣ 126$ .
Adună cifrele: $1 + 2 + 6 = 9$ .
Cum $9$ este divizibil cu $3$ , avem și $3 ∣ 126$ .

Verificare: $126 : 2 = 63$ și $126 : 3 = 42$ , ambele fără rest.

Exemplu rezolvat. Află cifra $x$ pentru care numărul $4 x 6$ este divizibil cu $9$ .

Suma cifrelor este $4 + x + 6 = 10 + x$ .
Ea trebuie să fie multiplu de $9$ . Cum $x$ este o cifră, $10 + x$ este între $10$ și $19$ , iar singurul multiplu de $9$ din acest interval este $18$ .
Din $10 + x = 18$ rezultă $x = 8$ .

Răspuns: $x = 8$ , adică numărul $486$ . Verificare: $486 : 9 = 54$ , fără rest.

Divizibil cu	Criteriul	Exemplu
$2$	ultima cifră este pară: $0, 2, 4, 6, 8$	$736$
$5$	ultima cifră este $0$ sau $5$	$1045$
$10$	ultima cifră este $0$	$930$
$1 0^{n}$	ultimele $n$ cifre sunt $0$	$45000$ se divide cu $1 0^{3}$
$3$	suma cifrelor se divide cu $3$	$741$ : $7 + 4 + 1 = 12$
$9$	suma cifrelor se divide cu $9$	$5391$ : $5 + 3 + 9 + 1 = 18$
$6$ , $15$ , $18$ , $45$	criteriile pentru doi factori primi între ei: $6 = 2 \cdot 3$ , $15 = 3 \cdot 5$ , $18 = 2 \cdot 9$ , $45 = 5 \cdot 9$	$7032$ se divide cu $6$

Greșeli frecvente

Greșit: A spune că $b ∣ a$ doar fiindcă $a ∣ b$ .
Corect: relația de divizibilitate nu se inversează automat; $3 ∣ 12$ , dar $12 ∤ 3$ .
Greșit: A aplica regula sumei cifrelor pentru $2$ , deși ea este pentru $3$ și $9$ .
Corect: pentru $2$ se verifică ultima cifră.
Greșit: A numi o împărțire cu rest „divizibilitate”.
Corect: divizibilitatea înseamnă rest zero.
Greșit: $0$ nu este multiplu al niciunui număr.
Corect: $0 = 7 \cdot 0$ , deci $0$ este multiplu al oricărui număr natural nenul.

pentru adulți

Pentru părinți

Copilul exersează împărțirea exactă și criteriile simple.

Puneți $18$ obiecte pe masă.
Formați grupe egale de câte $2$ și apoi de câte $3$ .
Copilul verifică prin înmulțire.
Comparați cu grupe de câte $5$ .

Întrebați-l: „Cum știi că $3$ este divizor al lui $18$ ?”

în contul tăuPremium

Testează-te pe această lecție

Lecția o citești aici, fără cont. Testele pe lecții și capitole sunt în cont, cu grile originale Didaxis și explicația fiecăreia: gratuit 10 grile pe zi, fără limită cu Premium, 49 de lei pe lună pentru fiecare copil.

Testează-te în cont

Înainte și după

ÎnainteIntervale de numere realeIntervale deschise și închise; operații cu intervale.DupăNumere prime și descompunerea în factoriNumere prime și compuse; factorizarea numerelor naturale.CapitolulNumere naturaleToate lecțiile capitolului „Numere naturale”.

Întrebări frecvente

Este 0 divizibil cu orice număr?

Da. Pentru orice număr natural b, 0 = b · 0, deci 0 este multiplu al oricărui număr. În schimb, nu se poate împărți la 0.

De ce criteriul cu 3 folosește suma cifrelor?

Pentru că 10, 100, 1.000 și celelalte puteri ale lui 10 dau toate restul 1 la împărțirea cu 3. Așa, un număr și suma cifrelor lui dau același rest la împărțirea cu 3. Același motiv explică și criteriul cu 9.

Dacă un număr se divide cu 2 și cu 3, se divide și cu 6?

Da, pentru că 2 și 3 sunt numere prime între ele și 2 · 3 = 6. Regula nu merge pentru orice pereche: 12 se divide cu 4 și cu 6, dar nu și cu 24.

Un număr care se divide cu 3 se divide și cu 9?

Nu neapărat. 12 se divide cu 3, dar nu cu 9. Invers însă e adevărat: orice număr care se divide cu 9 se divide și cu 3, pentru că 9 = 3 · 3.

Surse și referințe

Programa școlară de matematică, clasele V–VIII (OMEN 3393/2017, anexa 2), p. PDF 8–9; rocnee.eu

Desene: Redactare proprie (desen original)