Cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun

Cel mai mare divizor comun, prescurtat c.m.m.d.c., este cel mai mare număr natural care divide exact două numere date. Pentru $12$ și $18$, divizorii comuni sunt $1;2;3;6$; cel mai mare este $6$. Scriem $(12;18)=6$. Îl folosim, de exemplu, când vrem să împărțim două colecții în grupuri egale cât mai mari, fără rest. Două numere al căror c.m.m.d.c. este $1$ se numesc prime între ele: $8$ și $15$ nu au niciun divizor comun în afară de $1$, deși niciunul dintre ele nu este prim.

Cel mai mic multiplu comun, prescurtat c.m.m.m.c., este cel mai mic multiplu pozitiv pe care îl au ambele numere. Multiplii pozitivi ai lui $4$ sunt $4;8;12;\dots$, iar ai lui $6$ sunt $6;12;18;\dots$; primul comun este $12$. Scriem $[4;6]=12$. Acesta ajută când două evenimente periodice trebuie să coincidă din nou: dacă un autobuz trece din $4$ în $4$ minute și altul din $6$ în $6$ minute, ele pleacă din nou împreună după $12$ minute.

Pentru numere mai mari, descompunerea în factori primi scurtează calculul. La c.m.m.d.c. luăm factorii comuni cu exponenții mai mici. La c.m.m.m.c. luăm toți factorii care apar, cu exponenții mai mari. Nu amesteca aceste două reguli. Între cele două numere există legătura $(a;b)\cdot [a;b]=a\cdot b$, utilă pentru verificare: $(12;18)\cdot [12;18]=6\cdot 36=216=12\cdot 18$.

Exemplu rezolvat. Găsește c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. pentru $12$ și $18$.

1. Descompune: $12=2^2\cdot 3$, $18=2\cdot 3^2$.
2. Pentru divizorul comun maxim ia factorii comuni cu exponentul mai mic: $2\cdot 3=6$.
3. Pentru multiplul comun minim ia toți factorii cu exponentul mai mare: $2^2\cdot 3^2=36$.

Verifică: $36:12=3$ și $36:18=2$, ambele exact.

Algoritmul lui Euclid găsește c.m.m.d.c. prin împărțiri succesive, fără descompunerea numerelor în factori primi: se împarte numărul mai mare la cel mai mic, apoi împărțitorul la rest, până când restul este $0$. Ultimul rest nenul este c.m.m.d.c.

Exemplu rezolvat. Găsește $(84;36)$ cu algoritmul lui Euclid, apoi $[84;36]$.

1. Împarte: $84=36\cdot 2+12$.
2. Împarte împărțitorul la rest: $36=12\cdot 3+0$.
3. Ultimul rest nenul este $12$, deci $(84;36)=12$.
4. Folosește legătura dintre cele două: $[84;36]=84\cdot 36:12=252$.

Verificare prin factori primi: $84=2^2\cdot 3\cdot 7$ și $36=2^2\cdot 3^2$, de unde $(84;36)=2^2\cdot 3=12$ și $[84;36]=2^2\cdot 3^2\cdot 7=252$.

Greșeli frecvente

• Greșit: A lua exponentul mai mare la c.m.m.d.c.
  Corect: la c.m.m.d.c. se ia exponentul comun mai mic.
• Greșit: A considera $0$ drept c.m.m.m.c., deși căutăm cel mai mic multiplu pozitiv.
  Corect: c.m.m.m.c. este cel mai mic multiplu comun pozitiv.
• Greșit: A uita un factor prim care apare numai într-unul dintre numere la c.m.m.m.c.
  Corect: la c.m.m.m.c. se includ toți factorii primi prezenți.
• Greșit: dacă două numere nu sunt prime, c.m.m.d.c. lor nu poate fi $1$.
  Corect: $8$ și $15$ sunt numere compuse, dar $(8;15)=1$.

Înainte și după