Mulțimi și operații cu mulțimi

O mulțime este o colecție de obiecte bine precizate, numite elemente. O mulțime se poate scrie prin enumerarea elementelor, între acolade, sau prin proprietatea lor: $A=\{1;2;3\}$ este aceeași mulțime cu $\{x\in \mathbb{N}\mid 1\le x\le 3\}$. Dacă $2$ aparține lui $A$, scriem $2\in A$; dacă $5$ nu aparține, scriem $5\notin A$. Ordinea elementelor nu schimbă mulțimea: $\{1;2;3\}=\{3;2;1\}$. Nici repetarea aceluiași element nu îl adaugă a doua oară. Numărul elementelor unei mulțimi finite se numește cardinalul ei și se notează $|A|$; aici $|A|=3$.

O mulțime $A$ este submulțime a lui $B$ dacă fiecare element al lui $A$ se află și în $B$; scriem $A\subset B$. De exemplu, $\{2;4\}\subset \{1;2;3;4\}$. Mulțimea fără elemente se notează $\varnothing$ și este submulțime a oricărei mulțimi. Mulțimile de numere cunoscute se includ una în alta: $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$. Submulțimile unei mulțimi se pot număra sistematic. Mulțimea $\{a;b;c\}$ are $2^3=8$ submulțimi: $\varnothing$, trei cu un element, trei cu două elemente și mulțimea însăși. În general, o mulțime cu $n$ elemente are $2^n$ submulțimi, fiindcă fiecare element poate fi ales sau nu.

Reuniunea $A\cup B$ cuprinde elementele care apar în cel puțin una dintre mulțimi (se citește „$A$ reunit cu $B$”). Intersecția $A\cap B$ cuprinde numai elementele comune. Diferența $A\setminus B$ păstrează elementele din $A$ care nu sunt în $B$. Dacă $A\cap B=\varnothing$, mulțimile sunt disjuncte. Relațiile dintre mulțimi se pot desena în diagrame Venn: fiecare mulțime este o zonă închisă, iar partea comună a două zone este intersecția lor.

Aceste operații te ajută să organizezi informații. Dacă o listă cuprinde elevii care practică șah și alta pe cei care practică înot, intersecția arată cine face ambele activități, iar reuniunea arată cine face cel puțin una. Un element comun se scrie o singură dată în reuniune.

Exemplu rezolvat. Fie $A=\{1;2;4\}$ și $B=\{2;3\}$.

1. Pentru reuniune, adună elementele fără repetare: $A\cup B=\{1;2;3;4\}$.
2. Pentru intersecție, caută elementul comun: $A\cap B=\{2\}$.
3. Pentru diferență, păstrează din $A$ ce nu este în $B$: $A\setminus B=\{1;4\}$, iar $B\setminus A=\{3\}$.

Observă că $A\setminus B\ne B\setminus A$: diferența nu este comutativă, spre deosebire de reuniune și de intersecție.

O mulțime definită printr-o proprietate conține exact elementele universului ales care satisfac acea proprietate. Incluziunea $A\subseteq B$ permite egalitatea, iar incluziunea proprie $A⊊B$ o exclude. Două mulțimi sunt egale dacă și numai dacă $A\subseteq B$ și $B\subseteq A$; aceasta este metoda standard de a demonstra o egalitate de mulțimi.

Complementul $\overline{A}=U\setminus A$ depinde de universul $U$ precizat. Pentru orice $A\subseteq U$ avem $A\cup \overline{A}=U$, $A\cap \overline{A}=\varnothing$ și $\overline{\overline{A}}=A$. Operațiile au proprietăți: comutativitate ($A\cup B=B\cup A$), asociativitate, distributivitate ($A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ și $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$) și idempotență ($A\cup A=A\cap A=A$). Legile lui De Morgan sunt $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$ și $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B}$. Pentru mulțimi finite, $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ evită numărarea dublă a elementelor comune.

Exemplu rezolvat. În universul $U=\{1;2;3;4;5;6\}$, fie $A=\{2;4;6\}$ și $B=\{4;5;6\}$.

1. Elementele comune sunt $4$ și $6$, deci $A\cap B=\{4;6\}$.
2. Reuniunea este $\{2;4;5;6\}$; cardinalul ei este $3+3-2=4$.
3. Complementul reuniunii este $\{1;3\}$.
4. Separat, complementele sunt $\overline{A}=\{1;3;5\}$ și $\overline{B}=\{1;2;3\}$; intersecția lor este tot $\{1;3\}$, ceea ce confirmă prima lege a lui De Morgan.

Exemplu rezolvat. Demonstrează că $A\setminus (A\cap B)=A\setminus B$.

1. Fie $x\in A\setminus (A\cap B)$. Atunci $x\in A$ și $x\notin A\cap B$.
2. Cum $x\in A$, condiția $x\notin A\cap B$ înseamnă $x\notin B$. Deci $x\in A\setminus B$.
3. Invers, dacă $x\in A\setminus B$, atunci $x\in A$ și $x\notin B$, deci $x$ nu poate fi în $A\cap B$. Rezultă $x\in A\setminus (A\cap B)$.

Cele două incluziuni dau egalitatea.

Exemplu rezolvat. Fie $A=\{x\in \mathbb{R}\mid x^2\le 9\}$ și $B=\{x\in \mathbb{R}\mid |x-1|<2\}$. Determină $A\cap B$, $A\cup B$, $A\setminus B$ și $B\setminus A$.

1. Din $x^2\le 9$ rezultă $-3\le x\le 3$, deci $A=[-3;3]$.
2. Din $|x-1|<2$ rezultă $-2<x-1<2$, deci $-1<x<3$ și $B=(-1;3)$.
3. Cum $B\subset A$, avem $A\cap B=B=(-1;3)$ și $A\cup B=A=[-3;3]$.
4. $A\setminus B=[-3;-1]\cup \{3\}$, deoarece $-1$ și $3$ sunt în $A$, dar nu în $B$. Mulțimea $B\setminus A$ este vidă.

Exemplu rezolvat. Determină mulțimea $A$ știind că $A\cup \{1;2\}=\{1;2;3\}$ și $A\cap \{2;3;4\}=\{2;3\}$.

1. Din prima relație, $A\subseteq \{1;2;3\}$, deoarece reuniunea nu poate conține elemente noi față de $\{1;2;3\}$. Elementul $3$ trebuie să fie în $A$, fiindcă $3\notin \{1;2\}$.
2. Din a doua relație, $2\in A$ și $3\in A$, iar $4\notin A$.
3. Elementul $1$ nu este fixat de nicio condiție: poate fi în $A$ sau nu.

Rezultă două soluții: $A=\{2;3\}$ și $A=\{1;2;3\}$. Verificare: în ambele cazuri reuniunea cu $\{1;2\}$ este $\{1;2;3\}$, iar intersecția cu $\{2;3;4\}$ este $\{2;3\}$.

Exemplu rezolvat (numărare cu două mulțimi). Într-o clasă de $30$ de elevi, $18$ învață franceza, $14$ germana, iar $6$ le învață pe amândouă. Câți elevi nu învață niciuna dintre cele două limbi?

1. Notăm cu $F$ și $G$ mulțimile elevilor care învață franceza, respectiv germana. Elevii care învață cel puțin o limbă formează $F\cup G$, deci $|F\cup G|=18+14-6=26$.
2. Ceilalți sunt în complementul reuniunii: $30-26=4$ elevi.

Verificare: numai franceza învață $18-6=12$ elevi, numai germana $14-6=8$, iar $12+8+6=26$.

Cazuri-limită. Dacă $A\subseteq B$, atunci $A\cup B=B$, $A\cap B=A$ și $A\setminus B=\varnothing$. Pentru mulțimea vidă, $A\cup \varnothing =A$ și $A\cap \varnothing =\varnothing$, oricare ar fi $A$. Dacă $A\cap B=\varnothing$, formula cardinalului devine $|A\cup B|=|A|+|B|$.

La intervale, fiecare capăt se include doar dacă satisface condițiile cerute, iar intersecția exprimă respectarea lor simultană.

Problemele de numărare cu mulțimi se rezolvă cu formula $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ și cu complementul față de mulțimea totală. Elementele comune se numără o singură dată, iar cardinalul complementului este $|U|-|A\cup B|$. Două capcane revin în grilele de admitere: confuzia dintre $A\setminus B$ (elementele lui $A$ care nu sunt în $B$) și complementul $\overline{B}$ (toate elementele universului care nu sunt în $B$), precum și aplicarea greșită a legilor lui De Morgan, în care se schimbă operația, dar se uită complementele.

Problemă rezolvată. Câte numere naturale de la $1$ la $40$ (inclusiv) sunt multipli ai lui $4$ sau ai lui $6$?

a) $10$ b) $15$ c) $13$ d) $16$ e) $19$ f) $27$

1. Fie $A$ mulțimea multiplilor lui $4$: $|A|=\lfloor 40/4\rfloor =10$. Fie $B$ mulțimea multiplilor lui $6$: $|B|=\lfloor 40/6\rfloor =6$.
2. Un număr este în $A\cap B$ dacă este multiplu al lui $\mathrm{cmmmc}(4;6)=12$: acestea sunt $12;24;36$, deci $|A\cap B|=3$.
3. Rezultă $|A\cup B|=10+6-3=13$.

Verificare rapidă: enumerând multiplii lui $12$ până la $40$ obținem exact trei numere, deci intersecția nu poate fi vidă. Răspuns corect: c). Variantele greșite provin din erori tipice: a) numai multiplii lui $4$; d) $10+6$, fără scăderea elementelor comune; b) intersecție calculată cu $24$ în loc de $12$ ($10+6-1$); e) $10+6+3$; f) numerele care nu sunt multipli ai lui $4$ sau $6$, adică $40-13$.

Greșeli frecvente

• Greșit: pentru $A=\{1;2\}$ și $B=\{2;3\}$, $|A\cup B|=4$.
  Corect: elementul comun se numără o dată, deci $|A\cup B|=2+2-1=3$.
• Greșit: complementul lui $(0;1)$ în $\mathbb{R}$ este $(-\infty ;0)\cup (1;+\infty )$.
  Corect: trebuie incluse capetele, deci $(-\infty ;0]\cup [1;+\infty )$.
• Greșit: $\varnothing =\{0\}$.
  Corect: $\{0\}$ are un element, numărul $0$, iar $\varnothing$ nu are niciun element.
• Greșit: $\{1;2\}\in \{1;2;3\}$.
  Corect: $\{1;2\}$ este submulțime a lui $\{1;2;3\}$, deci $\{1;2\}\subset \{1;2;3\}$; semnul $\in$ leagă un element de o mulțime.

Înainte și după