Intervale de numere reale

Un interval adună toate numerele reale dintre două capete. De exemplu, $[2;5]$ cuprinde $2$, $5$ și toate numerele dintre ele, inclusiv $3,5$. Parantezele drepte arată că un capăt este inclus. Intervalul $(2;5)$ nu conține capetele, dar conține toate numerele strict dintre ele. În $[2;5)$, $2$ este inclus și $5$ este exclus. Fiecare interval corespunde unei inegalități: $[2;5)$ înseamnă $2\le x<5$, iar $(2;5]$ înseamnă $2<x\le 5$.

Pe axa numerelor, o bulină plină marchează un capăt inclus, iar una goală un capăt exclus. Un interval poate continua fără limită: $[3;+\infty )$ conține toate numerele mai mari sau egale cu $3$, iar $(-\infty ;1)$ conține toate numerele mai mici decât $1$. Simbolul $\infty$ nu este un număr real, deci lângă el se pune întotdeauna paranteză rotundă. Mulțimea tuturor numerelor reale este intervalul $(-\infty ;+\infty )$. Un interval ține loc de o inegalitate scrisă scurt: în loc de „numerele $x$ mai mari decât $-2$ și cel mult egale cu $7$” scriem $(-2;7]$.

Intervalele cu ambele capete numere reale au lungimea $b-a$: intervalul $[2;5]$ are lungimea $3$, la fel ca $(2;5)$. Lungimea nu depinde de includerea capetelor. Un interval poate avea un singur punct: $[3;3]=\{3\}$, dar $(3;3)$ și $[5;2]$ nu conțin niciun număr.

Intersecția a două intervale conține numerele care apar în ambele. Reuniunea conține numerele care apar în cel puțin unul. Când intervalele nu se ating, intersecția lor este mulțimea vidă. Desenul pe o axă ajută, dar trebuie verificată și includerea fiecărui capăt.

Exemplu rezolvat. Determină $[1;4]\cap (3;6)$.

1. Primul interval cere $1\le x\le 4$.
2. Al doilea cere $3<x<6$.
3. Condițiile împreună dau $3<x\le 4$.

Răspuns: $(3;4]$. Numărul $3$ este exclus deoarece nu aparține celui de-al doilea interval; $4$ este inclus în ambele.

Exemplu rezolvat. Scrie ca interval mulțimea $\{x\in \mathbb{R}\mid -1\le x<4\}$ și enumeră numerele întregi din ea.

1. Capătul din stânga, $-1$, este inclus, iar capătul din dreapta, $4$, este exclus.
2. Intervalul este $[-1;4)$.
3. Numerele întregi $n$ cu $-1\le n<4$ sunt $-1;0;1;2;3$.

Răspuns: $[-1;4)$ și cinci numere întregi.

Notația cu intervale este echivalentă cu inegalități și cu mulțimi definite prin proprietăți: $(a;b]=\{x\in \mathbb{R}\mid a<x\le b\}$. Dacă $a>b$, intervalul $[a;b]$ este vid, iar $[a;a]=\{a\}$ are un singur element. Intervalele sunt mărginite, când ambele capete sunt numere reale, sau nemărginite, când cel puțin un capăt este $\pm \infty$.

Modulul produce intervale: pentru $r>0$, $|x-a|<r$ este echivalent cu $x\in (a-r;a+r)$, iar $|x-a|\ge r$ cu $x\in (-\infty ;a-r]\cup [a+r;+\infty )$. Pentru o ecuație sau funcție, domeniul poate fi intersecția mai multor condiții; de exemplu $\sqrt{x-1}/(x-3)$ cere $x\ge 1$ și $x\ne 3$, deci domeniul este $[1;3)\cup (3;+\infty )$.

Complementul unui interval în $\mathbb{R}$ se obține inversând includerea capetelor: complementul lui $[-2;1)$ este $(-\infty ;-2)\cup [1;+\infty )$.

Intersecția a două intervale se citește de pe capete: $[a;b]\cap [c;d]$ are ca prim capăt cel mai mare dintre $a$ și $c$, iar ca ultim capăt cel mai mic dintre $b$ și $d$; mulțimea este vidă dacă primul capăt depășește ultimul. Capătul se include numai dacă este inclus în intervalul din care provine. De aceea un sistem de inecuații se rezolvă prin intersecția mulțimilor de soluții ale inecuațiilor sale.

Exemplu rezolvat. Pentru $A=(-2;3]$ și $B=[1;5)$, determină $A\cap B$, $A\cup B$ și $A\setminus B$.

1. Intersecția cere simultan $-2<x\le 3$ și $1\le x<5$, deci $A\cap B=[1;3]$.
2. Reuniunea acoperă de la $-2$ (exclus) până la $5$ (exclus), fără goluri, fiindcă intervalele se suprapun pe $[1;3]$: $A\cup B=(-2;5)$.
3. Diferența păstrează din $A$ numerele mai mici decât $1$: $A\setminus B=(-2;1)$.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $|2x-3|\le 5$.

1. Inegalitatea înseamnă $-5\le 2x-3\le 5$.
2. Adunăm $3$ în toți membrii: $-2\le 2x\le 8$.
3. Împărțim la $2$: $-1\le x\le 4$.

Soluția este intervalul închis $[-1;4]$. Verificare: pentru $x=4$, $|2\cdot 4-3|=5\le 5$; pentru $x=5$, $|7|=7>5$.

Exemplu rezolvat. Rezolvă sistemul $\{\begin{array}{l}2x-1\ge 3\\ x-5<-1\end{array}$.

1. Prima inecuație dă $2x\ge 4$, adică $x\ge 2$, deci soluțiile ei sunt $[2;+\infty )$.
2. A doua dă $x<4$, adică $(-\infty ;4)$.
3. Soluțiile sistemului sunt numerele care verifică ambele inecuații: $[2;+\infty )\cap (-\infty ;4)=[2;4)$.

Verificare: $x=2$ verifică ambele ($3\ge 3$ și $-3<-1$), iar $x=4$ nu verifică a doua ($-1<-1$ este fals).

Un interval și mulțimea numerelor întregi se combină prin intersecție: $((-\infty ;2]\cap (-4;+\infty ))\cap \mathbb{Z}=(-4;2]\cap \mathbb{Z}=\{-3;-2;-1;0;1;2\}$. Capătul $-4$ nu intră, deoarece intervalul este deschis la stânga.

Numărul de numere întregi dintr-un interval se află numărând de la un capăt la celălalt, cu atenție la capetele excluse: în $(-4;2]$ sunt $2-(-4)=6$ numere întregi, pentru că unul dintre capete este exclus și celălalt inclus.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $x^2\le 9$ și $x^2>4$.

1. Radicalul din $x^2$ este $|x|$, deci $x^2\le 9$ înseamnă $|x|\le 3$, adică $x\in [-3;3]$.
2. Analog, $x^2>4$ înseamnă $|x|>2$, adică $x<-2$ sau $x>2$, deci $x\in (-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )$.
3. Soluția este intersecția celor două mulțimi: $[-3;3]\cap ((-\infty ;-2)\cup (2;+\infty ))=[-3;-2)\cup (2;3]$.

Verificare: $x=-2,5$ dă $x^2=6,25$, număr cuprins între $4$ și $9$, deci aparține soluției; $x=-2$ dă $x^2=4$, care nu este mai mare decât $4$, deci $-2$ este exclus.

Inegalitatea cu modul în sens invers produce o reuniune: $|x-1|>2$ înseamnă $x<-1$ sau $x>3$, deci $x\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty )$, complementul intervalului $[-1;3]$.

La o inecuație rațională, rădăcinile numărătorului pot intra în soluție, iar zerourile numitorului rămân excluse. La o funcție cu radical de ordin par, expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă sau nulă, iar numitorul diferit de zero. La un logaritm, argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci capătul în care argumentul se anulează se exclude: pentru $\lg (x-2)$ domeniul este $(2;+\infty )$, nu $[2;+\infty )$. Pentru un radical de ordin par, capătul în care expresia este $0$ se include.

Problemă rezolvată. Care este domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)=\sqrt{\frac{x+1}{3-x}}$?

a) $[-1;3]$ b) $(-1;3)$ c) $[-1;3)$ d) $(-\infty ;-1]\cup (3;+\infty )$ e) $(-\infty ;-1]\cup [3;+\infty )$ f) $[-1;3)\cup (3;+\infty )$

1. Condiția de existență este $\frac{x+1}{3-x}\ge 0$ și $x\ne 3$.
2. Numărătorul se anulează la $x=-1$, iar numitorul la $x=3$. Tabelul de semn: fracția este negativă pe $(-\infty ;-1)$, pozitivă pe $(-1;3)$ și negativă pe $(3;+\infty )$.
3. Includem $-1$, unde fracția este $0$, și excludem $3$, unde nu este definită.

Verificarea rapidă: alege câte un număr de probă din fiecare interval obținut (de exemplu $x=0$ în $(-1;3)$ dă fracția $1/3>0$, iar $x=4$ dă $-5<0$) și testează separat capetele.

Răspuns corect: c). Variantele greșite provin din erori tipice: a) includerea lui $3$; b) excluderea lui $-1$; d) și e) alegerea intervalelor cu semn negativ; f) reuniune greșită cu intervalul de după $3$, unde fracția este negativă.

Greșeli frecvente

• Greșit: $+\infty$ este capăt inclus, ca și cum ar fi un număr real.
  Corect: infinitul nu este capăt inclus și nu este număr real.
• Greșit: pentru condiții simultane se folosește reuniunea.
  Corect: condițiile simultane se intersectează.
• Greșit: într-o intersecție se păstrează un capăt pe care unul dintre intervale îl exclude.
  Corect: un capăt exclus de un interval nu intră în intersecție.
• Greșit: intervalul $[2;5)$ este mai scurt decât $[2;5]$, fiindcă lipsește capătul $5$.
  Corect: ambele au lungimea $5-2=3$; includerea unui capăt nu schimbă lungimea.

Înainte și după