Unghiuri în spațiu

Unghiul a două drepte concurente este cel mai mic dintre unghiurile formate de ele, deci are măsura în intervalul $(0^{\circ };90^{\circ }]$. Pentru două drepte necoplanare, duci printr-un punct o paralelă la una dintre ele sau câte o paralelă la fiecare; unghiul dreptelor care se întâlnesc este unghiul căutat. Două drepte paralele formează unghiul $0^{\circ }$.

Unghiul dintre o dreaptă și un plan. Dacă dreapta este concurentă cu planul și nu este perpendiculară pe el, unghiul se măsoară între dreaptă și proiecția ei pe plan. Proiecția se obține coborând perpendiculare pe plan din punctele dreptei. Dacă dreapta este perpendiculară pe plan, unghiul este $90^{\circ }$; dacă este paralelă cu planul sau inclusă în el, unghiul este $0^{\circ }$.

Unghiul diedru este format din două semiplane cu aceeași dreaptă-margine, numită muchia diedrului; îl vezi la o carte deschisă. Într-un punct al muchiei duci, în fiecare semiplan, perpendiculara pe muchie. Unghiul dintre aceste două perpendiculare este unghiul plan corespunzător diedrului și îi dă măsura. Unghiul a două plane secante este cel mai mic dintre unghiurile diedrelor formate de ele, deci nu depășește $90^{\circ }$.

Notezi unghiul cu $m(\sphericalangle ABC)$. În exerciții, cauți un triunghi dreptunghic în care unghiul cerut este unghi ascuțit: oblica este ipotenuza, iar proiecția ei și perpendiculara pe plan sunt catetele. Muchia $AB$ a cubului este perpendiculară pe $C{C}^{\prime }$, deși dreptele nu se intersectează, fiindcă $AB\parallel DC$ și $m(\sphericalangle DC{C}^{\prime })=90^{\circ }$.

Exemplu rezolvat. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, află unghiul dintre diagonala feței $A^{\prime }B$ și planul bazei $(ABC)$.

1. Proiecția lui $A^{\prime }$ pe bază este $A$, deci proiecția dreptei $A^{\prime }B$ este $AB$.
2. Triunghiul $A^{\prime }AB$ este dreptunghic în $A$, cu $A{A}^{\prime }=AB$.
3. Triunghiul este dreptunghic isoscel, deci unghiul dintre $A^{\prime }B$ și $AB$ este $45^{\circ }$.

Exemplu rezolvat. În același cub, află unghiul dintre dreptele necoplanare $A{B}^{\prime }$ și $B{C}^{\prime }$.

1. $A{B}^{\prime }\parallel D{C}^{\prime }$, deoarece $AD{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ este dreptunghi.
2. Unghiul dreptelor $A{B}^{\prime }$ și $B{C}^{\prime }$ este unghiul dreptelor $D{C}^{\prime }$ și $B{C}^{\prime }$, adică $\sphericalangle D{C}^{\prime }B$.
3. Triunghiul $DB{C}^{\prime }$ are toate laturile diagonale de fețe, egale între ele, deci este echilateral.
4. Unghiul căutat este $60^{\circ }$.

Pentru o oblică $PB$ cu proiecția $HB$ pe plan ($H$ piciorul perpendicularei din $P$), triunghiul $PHB$ este dreptunghic în $H$, iar unghiul oblicei cu planul este $\theta =\sphericalangle PBH$. Rezultă $\sin \theta =PH/PB$, $\cos \theta =HB/PB$ și $\mathrm{tg}\theta =PH/HB$. Unghiul oblicei cu perpendiculara $PH$ este $90^{\circ }-\theta$. Un segment de lungime $\ell$ care face cu planul unghiul $\theta$ are proiecția de lungime $\ell \cos \theta$ și se ridică deasupra planului cu $\ell \sin \theta$. De exemplu, un segment de $10$ cm înclinat cu $30^{\circ }$ față de plan are proiecția de $10\cos 30^{\circ }=5\sqrt{3}$ cm și capătul superior la $5$ cm de plan. Unghiul $\theta$ este cel mai mic dintre unghiurile oblicei cu dreptele planului care trec prin $B$; de aceea se alege proiecția, nu altă dreaptă din plan.

Unghiul plan al unui diedru se identifică cu teorema celor trei perpendiculare: dacă $PH\perp \alpha$ și $HM\perp d$, unde $d\subset \alpha$ este muchia diedrului, atunci $PM\perp d$. Unghiul $\sphericalangle PMH$ este unghiul plan al diedrului dintre planul $(P,d)$ și planul $\alpha$. Măsura lui nu depinde de punctul ales pe muchie. Două diedre adiacente sunt suplementare, iar unghiul dintre plane este cel mai mic dintre ele. Două plane paralele formează unghiul $0^{\circ }$, iar două plane perpendiculare formează unghiul $90^{\circ }$. Într-un corp, întâi construiești proiecția sau unghiul plan potrivit, apoi calculezi cu lungimile reale din triunghiul dreptunghic obținut.

Când triunghiul nu este dreptunghic, se folosește teorema cosinusului. De exemplu, diagonalele spațiale $A{C}^{\prime }$ și $B{D}^{\prime }$ ale cubului de muchie $a$ se intersectează în centrul $O$. În triunghiul $AOB$ avem $AO=BO=a\sqrt{3}/2$ și $AB=a$, deci $\cos \sphericalangle AOB=\frac{\frac{3}{4}{a}^2+\frac{3}{4}{a}^2-a^2}{2\cdot \frac{3}{4}{a}^2}=\frac{1}{3}$. Unghiul $\sphericalangle AOB$ este ascuțit, deci este chiar unghiul dintre diagonale: aproximativ $70,53^{\circ }$. Dacă cosinusul ar fi fost negativ, unghiul obtuz $\sphericalangle AOB$ nu ar fi fost unghiul dreptelor; acesta ar fi fost suplementul lui.

Diedrul dintre planul $(A^{\prime }BD)$ și baza cubului are muchia $BD$. Cum $AO\perp BD$ și $A^{\prime }O\perp BD$ (teorema celor trei perpendiculare), unghiul plan este $\sphericalangle A^{\prime }OA$, cu $\mathrm{tg}\sphericalangle A^{\prime }OA=a/(a\sqrt{2}/2)=\sqrt{2}$, adică aproximativ $54,74^{\circ }$.

Exemplu rezolvat. În cubul de muchie $a>0$, află unghiul diagonalei spațiale $A{C}^{\prime }$ cu planul bazei.

1. Proiecția lui $C^{\prime }$ pe bază este $C$, deci proiecția dreptei $A{C}^{\prime }$ este $AC$.
2. Avem $C{C}^{\prime }=a$, $AC=a\sqrt{2}$ și $A{C}^{\prime }=a\sqrt{3}$.
3. În triunghiul dreptunghic $AC{C}^{\prime }$, $\sin \theta =a/(a\sqrt{3})=1/\sqrt{3}$ și $\mathrm{tg}\theta =1/\sqrt{2}$.
4. Unghiul este aproximativ $35,26^{\circ }$ și nu depinde de $a$.

Exemplu rezolvat. O piramidă patrulateră regulată $VABCD$ are $AB=10$ cm și înălțimea $VO=12$ cm. Află unghiul dintre o față laterală și planul bazei.

1. Fie $M$ mijlocul lui $BC$. Din $OM\perp BC$ și $VO\perp (ABC)$, teorema celor trei perpendiculare dă $VM\perp BC$.
2. Unghiul plan al diedrului este $\sphericalangle VMO$, în triunghiul dreptunghic $VOM$.
3. $OM=AB/2=5$ cm, deci $VM=\sqrt{12^2+5^2}=13$ cm.
4. $\mathrm{tg}\sphericalangle VMO=12/5$, iar unghiul este aproximativ $67,38^{\circ }$.

Greșeli frecvente

• Greșit: unghiul diagonalei spațiale cu baza este cel dintre $A{C}^{\prime }$ și $AB$.
  Corect: se folosește proiecția $AC$.
• Greșit: unghiul diagonalei spațiale cu baza este $45^{\circ }$, ca la diagonala feței.
  Corect: proiecția are lungimea $a\sqrt{2}$, iar tangenta este $1/\sqrt{2}$.
• Greșit: unghiul dintre planele $(ABC)$ și $(A^{\prime }BC)$ din cub este $m(\sphericalangle A^{\prime }BC)=90^{\circ }$.
  Corect: latura $BC$ este muchia diedrului; laturile unghiului plan trebuie duse perpendicular pe muchie, $BA\perp BC$ și $B{A}^{\prime }\perp BC$, deci unghiul este $m(\sphericalangle AB{A}^{\prime })=45^{\circ }$.
• Greșit: unghiul dintre două drepte din spațiu poate fi $120^{\circ }$.
  Corect: se ia cel mai mic dintre unghiurile formate, deci $120^{\circ }$ devine $60^{\circ }$.

Înainte și după