Prisme și paralelipipede

O prismă are două baze congruente situate în plane paralele. Dacă bazele sunt triunghiuri, este prismă triunghiulară; dacă sunt patrulatere, este prismă patrulateră. Fețele laterale ale unei prisme drepte sunt dreptunghiuri. Un paralelipiped dreptunghic este o prismă dreaptă cu bază dreptunghiulară; o cutie obișnuită îi poate servi drept model.

Cubul este un caz special de paralelipiped dreptunghic: toate cele șase fețe sunt pătrate egale. Într-un desen în perspectivă, muchiile din spate pot fi punctate. Nu le omite la numărarea fețelor, muchiilor ori la calculul ariei totale.

O desfășurare este desenul fețelor după ce tai câteva muchii și așezi corpul plat. Dacă o împăturești corect, fețele refac corpul fără suprapuneri. O secțiune este figura obținută când un plan taie prisma. O tăietură paralelă cu bazele unei prisme drepte are forma bazei. Pentru alte poziții, secțiunea poate arăta diferit; nu o ghici doar după o perspectivă.

Desfășurarea unui cub are șase pătrate lipite pe laturi, iar a unei prisme triunghiulare drepte are două triunghiuri și trei dreptunghiuri. Dacă desfășurarea unui paralelipiped dreptunghic nu are cele șase dreptunghiuri în perechi egale, ea nu poate acoperi o cutie. Fețele opuse ale paralelipipedului dreptunghic sunt congruente și paralele, iar toate fețele lui sunt dreptunghiuri, deci o cutie închisă are exact trei perechi de fețe egale. Pentru a calcula cât material acoperă o cutie, folosești aria totală, adică suma ariilor tuturor fețelor. Pentru cub cu muchia $a$, aria totală este $6a^2$, iar volumul este $a^3$. Pentru paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $a$, $b$, $c$, volumul este $abc$, adică numărul de cuburi unitate care îl umplu. Muchiile paralelipipedului dreptunghic sunt în trei grupe de câte patru muchii egale, iar corpul are $8$ vârfuri, $12$ muchii și $6$ fețe.

Exemplu rezolvat. O prismă dreaptă are baza triunghiulară. Câte fețe are?

1. Are două baze triunghiulare.
2. Fiecare dintre cele trei laturi ale bazei dă o față laterală dreptunghiulară.
3. Totalul este $2+3=5$ fețe.

La orice prismă, volumul este $V=A_{b}h$, unde înălțimea este distanța perpendiculară dintre planele bazelor. Pentru prisma dreaptă, fețele laterale sunt dreptunghiuri și aria lor totală este $A_l=P_{b}h$; aria totală este $A_t=P_{b}h+2A_b$. La o prismă oblică, muchia laterală nu este înălțimea și formula ariei laterale necesită alte date. Paralelipipedul dreptunghic cu dimensiuni pozitive are volumul $abc$ și aria totală $2(ab+bc+ca)$. Diagonala spațială se obține aplicând de două ori teorema lui Pitagora și are lungimea $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$. Unitățile pentru arie și volum sunt pătrate, respectiv cubice.

Exemplu rezolvat. O cutie dreptunghiulară are dimensiunile $3$ cm, $4$ cm și $12$ cm.

1. Aria bazei este $3\cdot 4=12$ cm${}^2$.
2. Volumul este $12\cdot 12=144$ cm${}^3$.
3. Aria totală este $2(12+48+36)=192$ cm${}^2$.
4. Diagonala bazei este $\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm, iar diagonala spațială este $\sqrt{5^2+12^2}=13$ cm. Ea este mai lungă decât fiecare muchie a cutiei.

O prismă cu baza un poligon cu $n$ laturi are $2n$ vârfuri, $3n$ muchii și $n+2$ fețe (două baze și $n$ fețe laterale). Numerele verifică relația lui Euler, $V-E+F=2$: $2n-3n+(n+2)=2$. Paralelipipedul dreptunghic are patru diagonale spațiale congruente, care se intersectează în centrul corpului; în cub, ele au lungimea $a\sqrt{3}$, mai mare decât diagonala unei fețe, $a\sqrt{2}$. Pentru un paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $a$, $b$, $c$, diagonalele celor trei tipuri de fețe sunt $\sqrt{a^2+b^2}$, $\sqrt{b^2+c^2}$ și $\sqrt{a^2+c^2}$, iar diagonala spațială se obține adăugând pătratul dimensiunii rămase. Volumul unei prisme oblice se calculează tot cu $A_{b}h$, unde $h$ este distanța dintre planele bazelor, nu lungimea unei muchii laterale înclinate; această egalitate se explică prin principiul lui Cavalieri, deoarece secțiunile paralele cu baza au aceeași arie.

Exemplu rezolvat. Câte vârfuri, muchii și fețe are o prismă hexagonală? Verifică relația lui Euler.

1. Baza are $n=6$ laturi, deci prisma are $2\cdot 6=12$ vârfuri.
2. Are $3\cdot 6=18$ muchii (câte $6$ pe fiecare bază și $6$ laterale).
3. Are $6+2=8$ fețe.
4. $V-E+F=12-18+8=2$.

Exemplu rezolvat. O prismă triunghiulară regulată (dreaptă, cu baza triunghi echilateral) are latura bazei $4$ cm și înălțimea $10$ cm. Calculează volumul și aria totală.

1. Aria bazei este $A_b=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$ cm${}^2$.
2. Volumul este $V=A_{b}h=40\sqrt{3}$ cm${}^3$.
3. Perimetrul bazei este $3\cdot 4=12$ cm, deci aria laterală este $12\cdot 10=120$ cm${}^2$.
4. Aria totală este $120+2\cdot 4\sqrt{3}=120+8\sqrt{3}$ cm${}^2$.

Exemplu rezolvat. Diagonala unui cub este $6\sqrt{3}$ cm. Află muchia, volumul și aria totală.

1. Diagonala cubului cu muchia $a$ este $a\sqrt{3}$ (cazul $a=b=c$ al formulei $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$), deci $a\sqrt{3}=6\sqrt{3}$ și $a=6$ cm.
2. Volumul este $6^3=216$ cm${}^3$.
3. Aria totală este $6\cdot 6^2=216$ cm${}^2$.

Egalitatea numerică dintre volum și aria totală apare aici din întâmplare; unitățile (${\mathrm{cm}}^3$ și ${\mathrm{cm}}^2$) sunt diferite.

Greșeli frecvente

• Greșit: aria totală a unui cub de muchie $a$ este $a^2$.
  Corect: cubul are șase fețe pătrate, deci $A_t=6a^2$.
• Greșit: volumul cutiei este $3+4+12=19$ cm${}^3$.
  Corect: se înmulțesc cele trei dimensiuni și se obțin $144$ cm${}^3$.
• Greșit: diagonala spațială este $\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm.
  Corect: aceasta este diagonala bazei; diagonala spațială este $\sqrt{5^2+12^2}=13$ cm.

Înainte și după

Întrebări frecvente