Teorema celor 3 perpendiculare și distanța la un plan

Pe scurt

Fie $α$ un plan, $A \in / α$ și $A O ⊥ α$ , cu $O \in α$ . Pentru $B \in α$ , segmentul $A B$ este o oblică, iar $O B$ este proiecția ei pe plan. Proiecția nu este $A O$ : ea are ambele capete în plan.

Teorema celor trei perpendiculare. Dacă $d \subset α$ , $B \in d$ , $O \in / d$ și $O B ⊥ d$ , atunci $A B ⊥ d$ . Cele trei perpendiculare sunt $A O ⊥ α$ , $O B ⊥ d$ și $A B ⊥ d$ .

Prima reciprocă. Dacă $A O ⊥ α$ , $d \subset α$ , $B \in d$ , $O \in / d$ și $A B ⊥ d$ , atunci $O B ⊥ d$ .

A doua reciprocă. Fie $O \in α$ , $B \in d \subset α$ , $O \in / d$ . Dacă $A B ⊥ d$ , $O B ⊥ d$ și $A O ⊥ O B$ , atunci $A O ⊥ α$ . În toate enunțurile, dreapta $d$ trece prin $B$ .

Distanța de la un punct la o dreaptă. Ca să afli distanța de la $A$ la dreapta $d$ :

duci $A O ⊥ α$ , unde $α$ este un plan care conține $d$ ;
duci în plan $O B ⊥ d$ , cu $B \in d$ ;
teorema dă $A B ⊥ d$ , deci distanța este lungimea $A B$ ;
calculezi $A B$ din triunghiul dreptunghic $A O B$ , cu $A B^{2} = A O^{2} + O B^{2}$ .

Distanța de la un punct $P$ la un plan $β$ se obține tot cu teorema, când perpendiculara nu se vede. Alegi o dreaptă $m \subset β$ și arăți că un plan $π$ care trece prin $P$ este perpendicular pe $m$ . Atunci perpendiculara din $P$ pe dreapta $π \cap β$ este perpendiculară pe $β$ . În al doilea exemplu, $m = B C$ și $π = (V O M)$ . Reciprocele te ajută să treci din $A B ⊥ d$ în $O B ⊥ d$ fără să măsori unghiuri pe desen.

Exemplu rezolvat. În cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cu muchia $a = 2$ cm, află distanța de la $A^{'}$ la dreapta $B D$ .

$A^{'} A ⊥ (A B C)$ . Fie $O = A C \cap B D$ , centrul pătratului $A B C D$ .
Diagonalele pătratului sunt perpendiculare, deci $A O ⊥ B D$ .
Teorema dă $A^{'} O ⊥ B D$ , deci distanța căutată este $A^{'} O$ .
$A O = a 2 /2 = 2$ cm, iar $A^{'} O = A^{'} A^{2} + A O^{2} = 4 + 2 = 6$ cm.

Exemplu rezolvat. Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are $A B = 12$ cm și înălțimea $V O = 8$ cm. Află distanța de la $O$ la planul $(V B C)$ .

Fie $M$ mijlocul lui $B C$ . Triunghiul $O B C$ este isoscel, deci $O M ⊥ B C$ , iar $O M = A B /2 = 6$ cm.
Din $V O ⊥ (A B C)$ și $O M ⊥ B C$ , teorema dă $V M ⊥ B C$ . Atunci $B C ⊥ (V O M)$ .
Duci în triunghiul $V O M$ înălțimea $O H ⊥ V M$ . Cum $O H \subset (V O M)$ , rezultă $O H ⊥ B C$ . Dreptele $V M$ și $B C$ sunt concurente în $M$ și se află în $(V B C)$ , deci $O H ⊥ (V B C)$ .
$V M = 8^{2} + 6^{2} = 10$ cm, iar $O H = V O \cdot O M / V M = 8 \cdot 6/10 = 4, 8$ cm.

Unghiul diedru dintre planul $(A, d)$ și $α$ se măsoară prin unghiul $A B O$ : segmentele $A B$ și $O B$ sunt amândouă perpendiculare pe muchia comună $d$ .

Desen la lecția „Teorema celor trei perpendiculare”

Greșeli frecvente

Greșit: în cubul de muchie $2$ , distanța de la $A^{'}$ la diagonala $B D$ este $A^{'} A = 2$ .
Corect: $A$ nu aparține diagonalei; piciorul perpendicularei este centrul $O$ , iar distanța este $A^{'} O = 6$ .
Greșit: pentru $A O ⊥ α$ și $B \in α$ , proiecția oblicei $A B$ este $A O$ .
Corect: proiecția are ambele capete în plan, deci este $O B$ .
Greșit: în piramida din exemplu, distanța de la $O$ la planul $(V B C)$ este înălțimea $V O = 8$ cm.
Corect: $V O$ nu este perpendiculară pe planul $(V B C)$ ; distanța este $O H = 4, 8$ cm.

pentru adulți

Pentru părinți

Desenați un cub și marcați pe baza lui diagonalele $A C$ și $B D$ . Copilul arată de ce $A O ⊥ B D$ când $O$ este intersecția lor, apoi trasează $A^{'} O$ și identifică triunghiul în care calculează distanța. Întrebați: „De ce este $A^{'} O$ , și nu $A^{'} A$ , distanța de la $A^{'}$ la dreapta $B D$ ?”

în contul tăuPremium

Testează-te pe această lecție

Lecția o citești aici, fără cont. Testele pe lecții și capitole sunt în cont, cu grile originale Didaxis și explicația fiecăreia: gratuit 10 grile pe zi, fără limită cu Premium, 49 de lei pe lună pentru fiecare copil.

Testează-te în cont

Înainte și după

ÎnaintePerpendicularitate în spațiuDrepte și plane perpendiculare; distanțe.DupăUnghiuri în spațiuUnghiuri dintre drepte, plane și dreaptă cu plan.CapitolulGeometrie în spațiuToate lecțiile capitolului „Geometrie în spațiu”.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema celor trei perpendiculare?

Dacă AO este perpendiculară pe un plan, cu O în plan, și OM este perpendiculară pe o dreaptă d din acel plan, cu M pe d, atunci și AM este perpendiculară pe d. Cele trei perpendiculare sunt AO, OM și AM.

Cum calculez distanța de la un punct la un plan?

Cauți perpendiculara din punct pe plan. Lungimea ei este distanța. Dacă perpendiculara nu se vede direct, construiești un plan care trece prin punct și este perpendicular pe planul dat, apoi duci perpendiculara pe dreapta lor comună.

Ajunge ca o dreaptă să fie perpendiculară pe o dreaptă din plan?

Nu. O dreaptă este perpendiculară pe un plan numai dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din acel plan. Atunci este perpendiculară pe toate dreptele planului.

Surse și referințe

Redactare proprie, conform programei:

OMEN nr. 3393/28.02.2017, anexa 2, p. PDF 29, 30; rocnee.eu
OME 4730/2022, programa de examen EN VIII, confirmată pentru EN 2026 de OMEC 6058/2025 art. 3; edu.ro ; pentru conținutul detaliat, anexa 11 la OMEC 3472/2020, p. PDF 66–77: edu.ro

Documente consultate

Programa școlară de matematică, clasele V–VIII (OMEN 3393/2017, anexa 2), p. PDF 29–30; rocnee.eu

Desene: Redactare proprie (desen original)