Perpendicularitate în spațiu

Două drepte din spațiu sunt perpendiculare dacă unghiul lor este de $90^{\circ }$. Ele pot fi concurente sau necoplanare: în cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, $AB\perp C{C}^{\prime }$, deși nu se întâlnesc, deoarece $AB\parallel DC$, iar $DC\perp C{C}^{\prime }$.

O dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă întâlnește planul într-un punct și este perpendiculară pe toate dreptele din plan care trec prin acel punct. Punctul de întâlnire este piciorul perpendicularei. Criteriul: este suficient ca dreapta să fie perpendiculară pe două drepte concurente din plan. Printr-un punct trece o singură perpendiculară pe un plan dat, iar două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele.

Distanța de la un punct la un plan este lungimea perpendicularei duse din punct pe plan. Orice segment oblic dus din același punct la plan este mai lung. Distanța dintre două plane paralele este distanța de la un punct oarecare al unui plan la celălalt plan.

Înălțimea unui corp este distanța dintre vârf și planul bazei (la piramidă și la con) sau distanța dintre planele bazelor (la prismă și la cilindru). Într-o prismă dreaptă, muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze, deci ele sunt înălțimi. Într-o piramidă regulată, înălțimea cade în centrul bazei. Podeaua și tavanul unei camere sunt plane paralele, iar distanța dintre ele este înălțimea camerei.

Un plan este perpendicular pe alt plan dacă primul conține o dreaptă perpendiculară pe al doilea. În cub, planul $(A{A}^{\prime }C)$ conține muchia $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$, deci $(A{A}^{\prime }C)\perp (ABC)$.

Exemplu rezolvat. Cubul are muchia de $4$ cm. Află distanța de la $A^{\prime }$ la planul bazei $(ABC)$.

1. Muchia $A^{\prime }A$ este perpendiculară pe $AB$ și pe $AD$, drepte concurente din bază.
2. Deci $A^{\prime }A\perp (ABC)$, iar piciorul perpendicularei este $A$.
3. Distanța este $A^{\prime }A=4$ cm.

Exemplu rezolvat. Într-un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=6$ cm, $AD=8$ cm și $A{A}^{\prime }=5$ cm, află distanța de la $C^{\prime }$ la planul $(AB{B}^{\prime })$.

1. $B^{\prime }{C}^{\prime }\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$ (fața $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este dreptunghi) și $B^{\prime }{C}^{\prime }\perp B{B}^{\prime }$ (fața $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ este dreptunghi).
2. Dreptele $A^{\prime }{B}^{\prime }$ și $B{B}^{\prime }$ sunt concurente în $B^{\prime }$ și se află în planul $(AB{B}^{\prime })$, deci $B^{\prime }{C}^{\prime }\perp (AB{B}^{\prime })$.
3. Piciorul perpendicularei este $B^{\prime }$, iar distanța este $B^{\prime }{C}^{\prime }=AD=8$ cm.

Fie $P$ un punct exterior planului $\alpha$, $H$ piciorul perpendicularei din $P$ pe $\alpha$ și $B\in \alpha$, $B\ne H$. Segmentul $PB$ este o oblică, iar $HB$ este proiecția ei pe plan. Triunghiul $PHB$ este dreptunghic în $H$, deci $P{B}^2=P{H}^2+H{B}^2$. Oblicele cu proiecții egale au lungimi egale, iar oblica cu proiecția mai mare este mai lungă; perpendiculara este cel mai scurt segment de la punct la plan.

Proiecția unui punct pe un plan este piciorul perpendicularei duse din punct. Proiecția unei drepte (neperpendiculare pe plan) este o dreaptă, iar proiecția unei figuri este figura formată din proiecțiile punctelor ei. Proiecția unui segment paralel cu planul este congruentă cu segmentul.

Două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă unul conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt. Dacă $\alpha \perp \beta$ și $d=\alpha \cap \beta$, orice dreaptă din $\alpha$ perpendiculară pe $d$ este perpendiculară pe $\beta$. Nu orice dreaptă din $\alpha$ este perpendiculară pe $\beta$: contează direcția față de $d$. Dacă $\alpha \perp \gamma$ și $\beta \perp \gamma$, iar $\alpha$ și $\beta$ sunt secante, dreapta lor de intersecție este perpendiculară pe $\gamma$.

Secțiunile diagonale și axiale se bazează pe această perpendicularitate. Într-o prismă dreaptă, planul $(A{A}^{\prime }C)$ conține muchia laterală, perpendiculară pe baze, deci este perpendicular pe baze. În paralelipipedul dreptunghic cu dimensiunile $6$ cm, $8$ cm, $5$ cm, secțiunea diagonală $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$ este un dreptunghi cu laturile $AC=\sqrt{36+64}=10$ cm și $A{A}^{\prime }=5$ cm, deci are aria de $50$ cm${}^2$. Secțiunea axială a unui cilindru sau a unui con este perpendiculară pe baza lui, fiindcă axa este perpendiculară pe bază.

Două drepte necoplanare $a$ și $b$ au o perpendiculară comună unică, adică o dreaptă perpendiculară pe ambele care le întâlnește pe amândouă. Segmentul ei, cuprins între cele două drepte, dă distanța dintre dreptele necoplanare. Dacă $d\parallel \alpha$, toate punctele lui $d$ sunt la aceeași distanță de $\alpha$, numită distanța de la dreaptă la plan; în cub, distanța de la $A^{\prime }{B}^{\prime }$ la planul $(ABC)$ este muchia cubului.

Exemplu rezolvat. Punctul $P$ se află la $6$ cm de planul $\alpha$, iar $B\in \alpha$ satisface $PB=10$ cm.

1. Notăm cu $H$ piciorul perpendicularei din $P$; avem $PH=6$ cm.
2. Din $PH\perp \alpha$ și $HB\subset \alpha$ rezultă că triunghiul $PHB$ este dreptunghic în $H$.
3. Teorema lui Pitagora dă $H{B}^2=10^2-6^2=64$.
4. Proiecția oblicei are lungimea $HB=8$ cm, iar distanța de la $P$ la plan este $PH=6$ cm.

Exemplu rezolvat. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu muchia de $4$ cm, află distanța dintre dreptele $A{A}^{\prime }$ și $BD$.

1. Dreptele sunt necoplanare: $BD\subset (ABC)$, iar $A{A}^{\prime }$ întâlnește $(ABC)$ în $A\notin BD$.
2. Fie $O=AC\cap BD$. Diagonalele pătratului sunt perpendiculare, deci $AO\perp BD$.
3. $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$ și $AO\subset (ABC)$, deci $AO\perp A{A}^{\prime }$.
4. $AO$ este perpendiculara comună, iar distanța este $AO=4\sqrt{2}/2=2\sqrt{2}$ cm. Teorema celor trei perpendiculare. Dacă $PH\perp \alpha$, $H\in \alpha$, $d\subset \alpha$ și $HQ\perp d$ cu $Q\in d$, atunci $PQ\perp d$. De exemplu, proiecția lui $PQ$ pe plan este $HQ$, iar perpendicularitatea ei pe $d$ se păstrează pentru oblica $PQ$.

Dacă un segment de lungime $L$ face unghiul $\phi$ cu planul, proiecția lui are lungimea $L\cos \phi$. Unghiul dintre două plane secante se măsoară într-un plan perpendicular pe dreapta lor de intersecție: este unghiul dintre cele două semidrepte obținute în fețele unghiului diedru.

Greșeli frecvente

• Greșit: distanța lui $P$ la plan este oblica $PB=10$ cm.
  Corect: distanța este perpendiculara $PH=6$ cm.
• Greșit: în cub, din $AB\perp AD$ rezultă $AB\perp (ABC)$.
  Corect: $AB$ este chiar în plan; perpendicularitatea pe o singură dreaptă nu ajunge.
• Greșit: dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte din plan, ea este perpendiculară pe plan.
  Corect: dreptele trebuie să fie concurente; $B{C}^{\prime }$ este perpendiculară pe $AB$ și pe $DC$, care sunt paralele, dar nu este perpendiculară pe $(ABC)$.
• Greșit: două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele.
  Corect: în spațiu, $AB$ și $A{A}^{\prime }$ sunt amândouă perpendiculare pe $AD$ și se intersectează în $A$.

Înainte și după

Întrebări frecvente