Puncte, drepte și plane în spațiu

În geometria plană, toate figurile stau pe o foaie. În spațiu, punctele pot fi și deasupra, și sub foaie. Elementele de bază sunt punctul, dreapta și planul. Planul este o suprafață plată, nemărginită în toate direcțiile; îl notezi cu o literă greacă ($\alpha$, $\beta$) sau cu trei puncte ale lui, de exemplu $(ABC)$.

Trei fapte stau la baza tuturor rezultatelor:

• prin două puncte distincte trece o singură dreaptă;
• prin trei puncte necoliniare trece un singur plan;
• dacă două puncte distincte ale unei drepte aparțin unui plan, toată dreapta este inclusă în plan.

Un plan este determinat în patru feluri: de trei puncte necoliniare; de o dreaptă și un punct exterior ei; de două drepte concurente; de două drepte paralele.

Două drepte din spațiu sunt concurente (au un singur punct comun), paralele (sunt în același plan și nu au niciun punct comun) sau necoplanare (nu există niciun plan care să le conțină pe amândouă). O dreaptă și un plan pot fi în trei poziții: dreapta este inclusă în plan (toate punctele ei sunt în plan), este concurentă cu planul (un singur punct comun) sau este paralelă cu planul (niciun punct comun). Două plane sunt paralele (niciun punct comun) sau secante (intersecția lor este o dreaptă).

Exemplu rezolvat. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, stabilește poziția dreptei $AB$ față de dreptele $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $B{C}^{\prime }$ și $C{C}^{\prime }$.

1. $AB$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }$ sunt laturi opuse ale dreptunghiului $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$: sunt în același plan și nu au punct comun, deci sunt paralele.
2. $AB$ și $B{C}^{\prime }$ au punctul $B$ comun, deci sunt concurente.
3. Singurul plan care conține $AB$ și punctul $C$ este $(ABC)$, iar $C^{\prime }$ nu aparține acestui plan. Atunci $AB$ și $C{C}^{\prime }$ nu sunt într-un plan și nu au punct comun: sunt necoplanare.

Exemplu rezolvat. Poziția dreptelor $A{A}^{\prime }$, $A^{\prime }{B}^{\prime }$ și $AB$ față de planul bazei $(ABC)$: $A{A}^{\prime }$ îl întâlnește numai în $A$ (concurentă), $A^{\prime }{B}^{\prime }$ nu are punct comun cu el (paralelă), iar $AB$ este inclusă în el.

Cele patru moduri de a determina un plan se reduc la primul. O dreaptă $d$ și un punct $P\notin d$: alegi pe $d$ două puncte $M$, $N$, iar $M,N,P$ sunt necoliniare. Două drepte concurente în $O$: alegi câte un punct, $M\ne O$ și $N\ne O$, pe fiecare; $O,M,N$ sunt necoliniare. Două drepte paralele se află prin definiție într-un plan, iar un punct al uneia și două ale celeilalte dau trei puncte necoliniare.

Dacă două plane distincte au un punct comun, ele au o dreaptă comună care trece prin acel punct; de aceea două plane distincte sunt paralele sau secante după o dreaptă. Pentru a construi intersecția, cauți două puncte comune distincte, care pot fi vârfuri, intersecții de drepte din cele două plane sau puncte construite pe muchii. Aceeași metodă arată că trei puncte sunt coliniare: dacă aparțin simultan la două plane distincte, ele se află pe dreapta de intersecție. Poziția relativă se stabilește din incidență, nu din aspectul desenului: un segment trasat în interiorul conturului unei fețe nu dovedește că dreapta lui este în planul feței.

Un criteriu pentru drepte necoplanare: dacă $d_1$ este inclusă în planul $\alpha$, iar $d_2$ întâlnește planul $\alpha$ într-un punct care nu aparține lui $d_1$, atunci $d_1$ și $d_2$ sunt necoplanare. Criteriul a fost folosit mai sus pentru $AB\subset (ABC)$ și $C{C}^{\prime }$, care întâlnește planul $(ABC)$ în $C\notin AB$. În cub, fiecare muchie are patru muchii necoplanare cu ea.

Patru puncte $A$, $B$, $C$, $D$ sunt coplanare dacă dreptele $AB$ și $CD$ sunt concurente sau paralele; dacă sunt necoplanare, punctele sunt vârfurile unui tetraedru. În desenul în perspectivă (reprezentarea corpurilor), muchiile ascunse se trasează punctat, dreptele paralele rămân paralele, iar mijlocul unui segment rămâne mijloc; lungimile și unghiurile se deformează, așa că se calculează numai din datele problemei, nu se măsoară pe desen.

Exemplu rezolvat. Câte plane sunt determinate de vârfurile unui cub?

1. Oricare trei vârfuri sunt necoliniare, deci există $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}\right)=56$ triplete.
2. Cele $6$ fețe și cele $6$ plane diagonale (de exemplu $(AB{C}^{\prime }{D}^{\prime })$) conțin câte $4$ vârfuri, adică $4$ triplete fiecare: $12\cdot 4=48$ triplete.
3. Rămân $56-48=8$ triplete care determină plane cu exact trei vârfuri (de exemplu $(A^{\prime }BD)$).
4. În total sunt $12+8=20$ plane.

Exemplu rezolvat. Determină intersecția planelor $(A^{\prime }BD)$ și $(A{A}^{\prime }C)$ în cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

1. Punctul $A^{\prime }$ aparține ambelor plane.
2. Fie $O=AC\cap BD$. Din $O\in BD\subset (A^{\prime }BD)$ și $O\in AC\subset (A{A}^{\prime }C)$, punctul $O$ este în ambele plane.
3. Planele sunt distincte: $B$ aparține primului, dar nu aparține celui de-al doilea.
4. Intersecția este dreapta $A^{\prime }O$, nu doar segmentul $A^{\prime }O$.

Greșeli frecvente

• Greșit: trei puncte oarecare determină un plan unic.
  Corect: trebuie să fie necoliniare; prin $A$, $M$, $B$ coliniare, cu $M$ mijlocul lui $AB$, trec o infinitate de plane.
• Greșit: două drepte care nu au niciun punct comun sunt paralele.
  Corect: sunt paralele numai dacă sunt și coplanare; în cub, $AB$ și $C{C}^{\prime }$ nu se intersectează și totuși sunt necoplanare.
• Greșit: intersecția planelor $(ABC)$ și $(AB{B}^{\prime })$ este segmentul $AB$.
  Corect: planele sunt nemărginite, deci intersecția este întreaga dreaptă $AB$.
• Greșit: două plane distincte pot avea un singur punct comun.
  Corect: dacă au un punct comun, au o dreaptă comună; două plane distincte au intersecția vidă (paralele) sau o dreaptă.

Înainte și după