Paralelism în spațiu

Două drepte din spațiu sunt paralele dacă se află în același plan și nu au niciun punct comun. Printr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă la ea, iar două drepte paralele cu o a treia sunt paralele între ele. Două drepte care nu au punct comun, dar nu sunt coplanare, sunt necoplanare și nu se numesc paralele.

O dreaptă $d$ este paralelă cu un plan $\alpha$ dacă nu are niciun punct comun cu el. Criteriul dreaptă–plan: dacă $d\not\subset \alpha$ și $d$ este paralelă cu o dreaptă $d^{\prime }\subset \alpha$, atunci $d\parallel \alpha$. În sens invers: dacă $d\parallel \alpha$ și un plan $\beta \supset d$ taie planul $\alpha$ după dreapta $d^{\prime }$, atunci $d\parallel d^{\prime }$.

Două plane sunt paralele dacă nu au niciun punct comun. Criteriul plan–plan: dacă planul $\alpha$ conține două drepte concurente, fiecare paralelă cu planul $\beta$, atunci $\alpha \parallel \beta$. O singură pereche de drepte paralele nu ajunge: două plane secante pot conține drepte paralele între ele. Printr-un punct exterior unui plan trece un singur plan paralel cu el.

Podeaua și tavanul unei camere sunt plane paralele; muchia dintre tavan și un perete este paralelă cu podeaua. În exerciții, paralelismul a două drepte se arată de obicei prin laturile opuse ale unui paralelogram (dreptunghi, pătrat), prin linia mijlocie într-un triunghi sau prin paralelismul ambelor cu o a treia dreaptă. În cub, fiecare muchie este paralelă cu două fețe: $AB$ este paralelă cu fețele $(DC{C}^{\prime })$ și $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ și este inclusă în fețele $(ABC)$ și $(AB{B}^{\prime })$.

Exemplu rezolvat. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, arată că $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (ABC)$.

1. $A^{\prime }{B}^{\prime }$ este muchia de sus, deci nu se află în planul bazei.
2. $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$, iar $AB$ se află în planul bazei.
3. Din criteriul dreaptă–plan rezultă $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (ABC)$.

Exemplu rezolvat. În tetraedrul $ABCD$, $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $AB$ și $AC$. Arată că $MN\parallel (BCD)$.

1. În triunghiul $ABC$, $MN$ este linie mijlocie, deci $MN\parallel BC$.
2. $BC$ este inclusă în planul $(BCD)$.
3. $MN$ nu este inclusă în $(BCD)$, fiindcă $M\in AB$ și $M\ne B$.
4. Criteriul dreaptă–plan dă $MN\parallel (BCD)$.

Dacă două plane paralele $\alpha$ și $\beta$ sunt tăiate de un al treilea plan $\gamma$, dreptele de intersecție $a=\gamma \cap \alpha$ și $b=\gamma \cap \beta$ sunt paralele. Sunt în același plan, $\gamma$, iar un punct comun al lor ar fi comun planelor $\alpha$ și $\beta$, care nu au puncte comune. Rezultă o consecință importantă: segmentele de dreaptă paralele, cuprinse între două plane paralele, sunt congruente. Dacă $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ cu $A,B\in \alpha$ și $A^{\prime },B^{\prime }\in \beta$, atunci $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$ (intersecțiile planului $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ cu planele paralele), deci $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ este paralelogram și $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }$. Așa se justifică faptul că distanța dintre două plane paralele este aceeași în orice punct.

Dacă $\alpha \parallel \beta$, orice dreaptă din $\alpha$ este paralelă cu planul $\beta$, fiindcă nu are puncte comune cu el; dreptele din $\alpha$ și cele din $\beta$ pot fi paralele sau necoplanare. Dacă o dreaptă este paralelă cu două plane secante, ea este paralelă cu dreapta lor de intersecție. Două plane paralele cu un al treilea sunt paralele între ele. Printr-un punct $P$ exterior planului $\alpha$ trec o infinitate de drepte paralele cu $\alpha$: sunt exact dreptele planului dus prin $P$ paralel cu $\alpha$. Pentru a duce acest plan, iei în $\alpha$ două drepte concurente și duci prin $P$ paralele la ele; aceste două paralele determină planul căutat. Un plan paralel cu baza unei piramide o taie după un poligon asemenea cu baza; dacă planul este la distanța $x$ de vârf și înălțimea este $h$, raportul de asemănare este $k=x/h$, iar ariile sunt în raportul $k^2$. Între plan și bază rămâne un trunchi de piramidă, cu bazele paralele. Același plan împarte muchiile laterale ale piramidei în segmente proporționale. Într-o prismă dreaptă, un plan paralel cu baza dă o secțiune congruentă cu baza, fiindcă segmentele paralele dintre plane paralele sunt congruente. Într-un con circular drept cu raza bazei $R$, un plan paralel cu baza dă un cerc de rază $kR$, unde $k$ este raportul dintre distanța planului la vârf și înălțimea conului.

Exemplu rezolvat. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, arată că planele $(A^{\prime }BD)$ și $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ sunt paralele.

1. $A^{\prime }BC{D}^{\prime }$ este dreptunghi, deci $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$ și $A^{\prime }B\not\subset (C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$.
2. $BD{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ este dreptunghi, deci $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ și $BD\not\subset (C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$.
3. Dreptele $A^{\prime }B$ și $BD$ sunt concurente în $B$ și au câte o paralelă din planul $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$, deci sunt paralele cu acest plan.
4. Criteriul plan–plan dă $(A^{\prime }BD)\parallel (C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$.

Exemplu rezolvat. O piramidă patrulateră regulată are baza pătrat cu latura de $12$ cm și înălțimea de $9$ cm. Un plan paralel cu baza, la $3$ cm de ea, taie piramida.

1. Distanța de la planul secant la vârf este $9-3=6$ cm, deci $k=6/9=2/3$.
2. Secțiunea este un pătrat cu latura $12\cdot 2/3=8$ cm.
3. Aria secțiunii este $8^2=64$ cm${}^2$, adică $(2/3{)}^2\cdot 144$ cm${}^2$.

Greșeli frecvente

• Greșit: în cub, $AB$ și $C{C}^{\prime }$ sunt paralele fiindcă nu se întâlnesc.
  Corect: sunt necoplanare, iar paralelismul cere coplanaritate.
• Greșit: $AB$ este paralelă cu planul $(ABC)$ deoarece este paralelă cu $CD$.
  Corect: $AB$ este inclusă în plan; lipsește condiția $d\not\subset \alpha$.
• Greșit: dacă $d\parallel \alpha$, atunci $d$ este paralelă cu orice dreaptă din $\alpha$.
  Corect: $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel (ABC)$, dar $A^{\prime }{B}^{\prime }$ și $BC$ sunt necoplanare; $d$ este paralelă numai cu dreptele din $\alpha$ coplanare cu ea.
• Greșit: două plane sunt paralele dacă fiecare conține o dreaptă, iar cele două drepte sunt paralele.
  Corect: două plane secante pot conține drepte paralele; criteriul cere două drepte concurente.

Înainte și după