Corpuri geometrice

Un zar, o minge, o conservă, un cornet și o cutie de pantofi au forme diferite. Formele lor se numesc corpuri geometrice. Le poți ține în mână, fiindcă ocupă loc în spațiu.

• Sfera seamănă cu mingea. Nu are nicio față plată.
• Cubul seamănă cu zarul. Toate fețele lui sunt pătrate egale.
• Paralelipipedul dreptunghic (numit și cuboid) seamănă cu cutia de pantofi. Fețele lui sunt dreptunghiuri, iar fețele opuse sunt egale.
• Cilindrul seamănă cu conserva. Are două fețe rotunde plate și o parte curbă.
• Conul seamănă cu cornetul. Are o față rotundă plată și un vârf ascuțit.

La cub și la cutie, suprafețele plate se numesc fețe. Locul în care se întâlnesc două fețe este o muchie. Locul în care se întâlnesc mai multe muchii este un vârf. Cubul are $6$ fețe, $12$ muchii și $8$ vârfuri. Același număr îl are și paralelipipedul dreptunghic.

Exemplu rezolvat. Pe un zar cubic vezi trei fețe deodată. Câte fețe nu se văd?

1. Cubul are $6$ fețe.
2. Se văd $3$ fețe.
3. Rămân $6-3=3$ fețe ascunse.

Exemplu rezolvat. Care dintre o minge și o conservă se rostogolește pe orice parte? Mingea, fiindcă sfera nu are fețe plate. Conserva se rostogolește numai pe partea curbă; pe fețele rotunde plate stă nemișcată.

Corpurile geometrice formează două familii. Poliedrele au toate fețele plane: cubul, paralelipipedul dreptunghic, prisma, piramida. Corpurile rotunde au cel puțin o suprafață curbă: cilindrul, conul, sfera.

O prismă dreaptă are două baze, poligoane egale în plane paralele, iar fețele laterale sunt dreptunghiuri; muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze și au lungimea înălțimii. Prisma este regulată dacă baza este un poligon regulat. Cubul și paralelipipedul dreptunghic sunt prisme drepte cu baza pătrat, respectiv dreptunghi. O prismă cu baza un poligon cu $n$ laturi are $2n$ vârfuri, $3n$ muchii și $n+2$ fețe; prisma hexagonală are $12$ vârfuri, $18$ muchii și $8$ fețe.

O piramidă are o bază poligonală, iar fețele laterale sunt triunghiuri cu vârful comun. Cu baza de $n$ laturi, are $n+1$ vârfuri, $2n$ muchii și $n+1$ fețe. Piramida regulată are baza poligon regulat și înălțimea care cade în centrul bazei; tetraedrul regulat are patru fețe triunghiuri echilaterale.

Corpurile rotunde se obțin prin rotație: cilindrul circular drept, rotind un dreptunghi în jurul unei laturi; conul circular drept, rotind un triunghi dreptunghic în jurul unei catete; sfera, rotind un semicerc în jurul diametrului.

Desfășurarea unui corp se obține tăind suprafața lui și așezând-o în plan; aria desfășurării este aria totală a corpului. Cubul se desfășoară în $6$ pătrate egale. Paralelipipedul dreptunghic se desfășoară în $6$ dreptunghiuri, egale două câte două. Prisma dreaptă are ca desfășurare cele două baze și un dreptunghi lateral, cu o latură egală cu perimetrul bazei și cealaltă egală cu înălțimea. Piramida are baza și atâtea triunghiuri câte laturi are baza. Cilindrul circular drept are două cercuri și un dreptunghi cu laturile $2\pi R$ și $h$. Conul circular drept are un cerc și un sector de cerc cu raza egală cu generatoarea $g$. Suprafața sferei nu poate fi desfășurată în plan.

Un paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $a$, $b$, $c$ are $A_t=2(ab+bc+ca)$, $V=abc$ și diagonala $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$, obținută aplicând Pitagora de două ori. Pentru celelalte corpuri: prisma dreaptă $V=A_{b}h$; piramida $V=A_{b}h/3$; cilindrul $V=\pi R^{2}h$; conul $V=\pi R^{2}h/3$; sfera $V=4\pi R^3/3$. Ariile și exemplele pentru fiecare se găsesc în lecțiile despre acele corpuri.

Exemplu rezolvat. Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile $3$ cm, $4$ cm și $12$ cm.

1. Diagonala: $d=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=13$ cm.
2. Aria totală: $A_t=2(3\cdot 4+4\cdot 12+3\cdot 12)=2\cdot 96=192$ cm${}^2$.
3. Volumul: $V=3\cdot 4\cdot 12=144$ cm${}^3$.

Exemplu rezolvat. La cubul cu muchia $a=3$ cm, diagonala spațială este $a\sqrt{3}=3\sqrt{3}$ cm, iar secțiunea prin două muchii opuse este un dreptunghi cu laturile $a$ și $a\sqrt{2}$, deci cu aria $9\sqrt{2}$ cm${}^2$. Aria totală este $6\cdot 3^2=54$ cm${}^2$, iar volumul este $3^3=27$ cm${}^3$.

Corpuri geometrice de tipărit

Două fișe pentru „corpuri geometrice”. Prima fixează noțiunile, iar a doua le folosește în sarcini mai variate; cheia este pe ultima pagină a fiecărui PDF.

• 

  Recunoaște corpurile geometrice

  Deschide fișa
• 

  Fețe și rostogolire

  Deschide fișa

Greșeli frecvente

• Greșit: pentru o piramidă cu $A_b=12$ cm${}^2$ și $h=3$ cm se calculează $V=12\cdot 3=36$ cm${}^3$.
  Corect: $V=12\cdot 3/3=12$ cm${}^3$.
• Greșit: la un cub cu $a=2$ cm se ia diagonala spațială $2\sqrt{2}$ cm.
  Corect: $2\sqrt{2}$ cm este diagonala unei fețe; diagonala spațială este $2\sqrt{3}$ cm.
• Greșit: o piramidă cu baza pătrat are $4$ muchii, câte una la fiecare latură a bazei.
  Corect: are $8$ muchii, patru ale bazei și patru laterale, plus $5$ vârfuri.
• Greșit: cercul și sfera sunt același lucru, fiindcă amândouă sunt rotunde.
  Corect: cercul este o figură plană, desenată pe foaie; sfera este un corp care ocupă loc în spațiu.

Înainte și după