Cilindrul, conul și sfera

Cilindrul circular drept are două baze circulare egale și paralele, unite de o suprafață laterală curbată. O conservă închisă îi seamănă. Conul circular drept are o bază circulară și un vârf; un cornet îi seamănă. Sfera este suprafața alcătuită din punctele aflate la aceeași distanță de un centru; regiunea plină din interior este bila.

Înălțimea cilindrului este distanța dintre planele bazelor. Înălțimea conului este perpendiculara din vârf pe planul bazei. La conul drept, segmentul oblic de la vârf la marginea bazei se numește generatoare; este mai lung decât înălțimea când raza bazei este pozitivă.

O tăietură cu un plan paralel cu bazele cilindrului sau conului produce un cerc ca secțiune a suprafeței, iar în corpul plin produce un disc. La sferă, o tăietură prin centru produce un cerc mare pe suprafață. Dacă desfaci suprafața laterală a cilindrului drept, obții un dreptunghi; lungimea lui este lungimea cercului bazei.

Cilindrul și conul au bazele cercuri, iar sfera nu are baze și nici muchii. Aceste corpuri se obțin prin rotație: cilindrul prin rotirea unui dreptunghi în jurul uneia dintre laturi, conul prin rotirea unui triunghi dreptunghic în jurul unei catete, iar sfera prin rotirea unui semicerc în jurul diametrului. De aceea secțiunea axială arată clar elementele corpului: la cilindru, dreptunghiul cu laturile $2R$ și $h$, la con, triunghiul isoscel cu baza $2R$ și laturile $G$. Formulele pe care le vei folosi sunt cele ale unui cilindru de rază $R$ și înălțime $h$: aria laterală $2\pi Rh$, aria totală $2\pi R(R+h)$ și volumul $\pi R^{2}h$. Conul are aria laterală $\pi RG$ și volumul $\frac{1}{3}\pi R^{2}h$, adică o treime din volumul cilindrului cu aceeași bază și înălțime. Sfera de rază $R$ are aria $4\pi R^2$, iar bila are volumul $\frac{4}{3}\pi R^3$.

Exemplu rezolvat. Un cilindru are raza bazei $2$ cm.

1. Diametrul bazei este $d=2r$.
2. Calculăm $d=2\cdot 2=4$ cm.
3. Ambele baze au același diametru, fiind cercuri congruente.

Pentru cilindrul circular drept, $A_l=2\pi Rh$ și $V=\pi R^{2}h$. Pentru conul circular drept, generatoarea $G$ satisface $G^2=R^2+h^2$, aria laterală este $\pi RG$, iar volumul este $\pi R^{2}h/3$. Pentru bila de rază $R$, volumul este $4\pi R^3/3$, iar aria sferei care o mărginește este $4\pi R^2$. O secțiune axială a cilindrului este un dreptunghi, a conului un triunghi isoscel; o secțiune plană a sferei este un cerc.

Secțiunea axială a cilindrului circular drept este un dreptunghi cu laturile $2R$ și $h$. Secțiunea axială a conului circular drept este un triunghi isoscel cu laturile egale $G$ și baza $2R$. Pentru $R=3$ cm și $h=4$ cm, relația $G^2=R^2+h^2$ dă $G=5$ cm.

Conul și cilindrul cu aceeași bază și aceeași înălțime au volume în raportul $1:3$; semnificația fizică este că trei conuri pline cu apă umplu exact un cilindru. Pentru sferă, ariei $4\pi R^2$ îi corespunde faptul că suprafața sferei este de patru ori aria unui cerc mare, $\pi R^2$. Un plan care taie sfera la distanța $d$ de centru, cu $d<R$, produce un cerc cu raza $r=\sqrt{R^2-d^2}$: pentru $R=5$ cm și $d=3$ cm obții $r=4$ cm, iar aria secțiunii este $16\pi$ cm${}^2$; planul tangent ($d=R$) atinge sfera într-un singur punct. Un cilindru înscris într-un con, sau un con înscris într-un cilindru, se studiază prin secțiunea axială, unde apar triunghiuri asemenea. Un trunchi de con se obține tăind conul cu un plan paralel cu baza; are două baze cercuri, cu razele $R$ și $r$, și volumul $\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)$, formulă analogă celei de la trunchiul de piramidă. De exemplu, pentru $R=4$, $r=2$ și $h=3$ rezultă $28\pi$, iar generatoarea trunchiului este $\sqrt{3^2+(4-2{)}^2}=\sqrt{13}$. Un corp compus, precum un cornet de înghețată format dintr-un con și o emisferă, se tratează prin adunarea volumelor părților: volumul emisferei este jumătate din cel al bilei, $\frac{2}{3}\pi R^3$.

Exemplu rezolvat. Un con circular drept are raza bazei $3$ cm și înălțimea $4$ cm. Calculează generatoarea, aria laterală, aria totală, volumul și unghiul sectorului în care se desfășoară suprafața laterală.

1. Generatoarea este $G=\sqrt{3^2+4^2}=5$ cm.
2. Aria laterală este $\pi RG=15\pi$ cm${}^2$, iar aria totală este $15\pi +\pi R^2=15\pi +9\pi =24\pi$ cm${}^2$.
3. Volumul este $\frac{1}{3}\pi \cdot 9\cdot 4=12\pi$ cm${}^3$.
4. Suprafața laterală se desfășoară într-un sector de cerc de rază $G=5$ cm și lungimea arcului egală cu lungimea cercului bazei, $2\pi \cdot 3=6\pi$. Măsura sectorului este $360^{\circ }\cdot \frac{R}{G}=360^{\circ }\cdot \frac{3}{5}=216^{\circ }$.

Exemplu rezolvat. Un cilindru și o sferă au aceeași rază $R=3$ cm; înălțimea cilindrului este $h=4$ cm. Compară volumele și ariile.

1. Cilindrul: $V=\pi \cdot 9\cdot 4=36\pi$ cm${}^3$; $A_t=2\pi \cdot 3\cdot (3+4)=42\pi$ cm${}^2$.
2. Sfera: aria este $4\pi \cdot 9=36\pi$ cm${}^2$, iar bila are volumul $\frac{4}{3}\pi \cdot 27=36\pi$ cm${}^3$.
3. Volumele sunt egale, dar ariile diferă: $42\pi \ne 36\pi$.

Greșeli frecvente

• Greșit: volumul conului este $\pi R^{2}h$, ca la cilindru.
  Corect: este o treime din el, $\frac{1}{3}\pi R^{2}h$; pentru $R=3$ și $h=4$ avem $12\pi$ față de $36\pi$.
• Greșit: conul are două baze circulare.
  Corect: are o singură bază și un vârf.
• Greșit: înălțimea conului este generatoarea oblică.
  Corect: înălțimea este perpendiculară pe planul bazei.
• Greșit: sfera este tot volumul bilei.
  Corect: sfera este suprafața, bila include interiorul.

Înainte și după

Întrebări frecvente