Calota sferică și zona sferică

Calota sferică este porțiunea din suprafața sferei separată de un plan secant; discul de secțiune nu face parte din calotă. Corpul mărginit de calotă și de acest disc se numește segment sferic cu o bază. Între două plane secante paralele, suprafața se numește zonă sferică, iar corpul, segment sferic cu două baze. Pentru o sferă de rază $R$ și o înălțime $h$ măsurată perpendicular între plane, aria calotei sau a zonei este $A=2\pi Rh$. La o cupolă, aceasta este suprafața de acoperit, fără discul de la bază.

Segmentul sferic cu o bază are volumul $V=\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right)$, unde $0\le h\le 2R$. Raza $r$ a bazei se obține dintr-un triunghi dreptunghic: $r^2=R^2-(R-h{)}^2=2Rh-h^2$. Aria totală a segmentului, când se cere și baza, este $2\pi Rh+\pi r^2$.

Exemplu – cupolă. Pentru $R=5$ m și $h=2$ m: (1) aria calotei este $A=2\pi \cdot 5\cdot 2=20\pi$ m²; (2) volumul segmentului este $V=\pi \cdot 2^2(5-2/3)=52\pi /3$ m³; (3) $r^2=2\cdot 5\cdot 2-2^2=16$, deci $r=4$ m. Dacă se acoperă și discul bazei, aria totală devine $20\pi +16\pi =36\pi$ m². Mărimea aleasă depinde de ce se acoperă efectiv.

Pentru un segment cu două baze de raze $r_1,r_2$ și înălțime $h$, $V=\frac{\pi h}{6}(3r_1^2+3r_2^2+h^2)$. Îl poți calcula și scăzând volumele a două segmente cu o bază măsurate de la același vârf. Dacă $R=5$ m, iar planele sunt la înălțimile $1$ m și $3$ m de la vârf, $V=V(3)-V(1)=36\pi -14\pi /3=94\pi /3$ m³. Verificare cu formula pentru două baze: $r_1^2=2\cdot 5\cdot 1-1^2=9$, $r_2^2=2\cdot 5\cdot 3-3^2=21$ și $h=2$, deci $V=\frac{2\pi }{6}(27+63+4)=\frac{94\pi }{3}$ m³, același rezultat.

Rezultatul $A=2\pi Rh$ are o proprietate neobișnuită: aria calotei sau a zonei depinde numai de raza sferei și de înălțime, nu de poziția planelor. De aceea două zone de aceeași înălțime, una la ecuator și una lângă pol, au aceeași arie. Pentru emisferă, $h=R$, deci aria este $2\pi R^2$, jumătate din aria sferei, $4\pi R^2$. Raza discului de secțiune, la distanța $d$ de centru, este $r=\sqrt{R^2-d^2}$, iar între $d$, $R$ și înălțimea calotei există relația $h=R-d$ (calota mai mică).

Calota mare și calota mică determinate de același plan au înălțimile $h_1=R+d$ și $h_2=R-d$, cu suma $h_1+h_2=2R$, iar ariile lor însumează aria sferei: $2\pi R(h_1+h_2)=4\pi R^2$. La un glob terestru, zonele dintre două paralele sunt zone sferice; cea dintre tropice are înălțimea $2R\sin 23,5^{\circ }$, de unde se calculează ce parte din suprafața globului acoperă. Alegerea unității rămâne importantă: dacă raza este în metri, aria este în metri pătrați, iar volumul în metri cubi.

Exemplu rezolvat. O sferă are raza $R=10$ cm. Un plan la distanța $d=6$ cm de centru o taie. Calculează aria calotei mici, raza bazei și volumul segmentului.

1. Înălțimea calotei mici este $h=R-d=4$ cm.
2. Aria calotei este $2\pi \cdot 10\cdot 4=80\pi$ cm${}^2$.
3. Raza bazei este $r=\sqrt{10^2-6^2}=8$ cm.
4. Volumul segmentului este $V=\pi \cdot 4^2\left(10-\frac{4}{3}\right)=16\pi \cdot \frac{26}{3}=\frac{416\pi }{3}$ cm${}^3$.

Verificare cu relația $r^2=2Rh-h^2=80-16=64$, deci $r=8$.

Exemplu rezolvat – boltă. O sală are o boltă sferică (o calotă) care se sprijină pe un cerc cu diametrul de $12$ m, iar înălțimea bolții este $h=3$ m. Calculează raza sferei din care face parte bolta și aria ei.

1. Raza bazei este $r=6$ m. Din $r^2=2Rh-h^2$ rezultă $36=6R-9$, deci $R=\frac{45}{6}=7,5$ m.
2. Aria bolții este $A=2\pi \cdot 7,5\cdot 3=45\pi$ m${}^2$, adică suprafața de vopsit, fără planul de la bază.

Exemplu rezolvat. Aflați aria zonei sferice dintre două plane paralele aflate la $2$ cm și $5$ cm de centrul unei sfere de rază $13$ cm, de aceeași parte a centrului.

1. Înălțimea zonei este $h=5-2=3$ cm.
2. Aria zonei este $2\pi \cdot 13\cdot 3=78\pi$ cm${}^2$.

Dacă planele sunt de o parte și de alta a centrului, înălțimea este suma distanțelor, $2+5=7$ cm, iar aria $2\pi \cdot 13\cdot 7=182\pi$ cm${}^2$.

Greșeli frecvente

• Greșit: aria zonei dintre două plane la $2$ cm și $5$ cm de centru, de aceeași parte, folosește $h=7$ cm.
  Corect: planele sunt de aceeași parte, deci înălțimea este diferența $5-2=3$ cm.
• Greșit: aria zonei sferice este $\pi r^2$.
  Corect: aria zonei sferice (sau a calotei) este $2\pi Rh$; $\pi r^2$ este aria unui disc de secțiune.
• Greșit: „calota” include discul și are volum.
  Corect: volumul în m³ este al segmentului sferic; calota are arie în m².

Înainte și după