Poliedre, relația lui Euler și principiul lui Cavalieri

Un poliedru este un corp mărginit de fețe poligonale. Pentru un poliedru convex, numărul vârfurilor $V$, al muchiilor $M$ și al fețelor $F$ satisface relația lui Euler $V-M+F=2$. Un cub are $V=8$, $M=12$, $F=6$, iar $8-12+6=2$. Verifici convexitatea și numeri fiecare muchie o singură dată.

Exemplu general – prisma cu bază $n$-gonală. (1) Are câte $n$ vârfuri pe fiecare bază, deci $V=2n$. (2) Are $n$ muchii pe fiecare bază și $n$ laterale, deci $M=3n$. (3) Are două baze și $n$ fețe laterale, deci $F=n+2$. (4) Substituind, $V-M+F=2n-3n+n+2=2$. Pentru $n=4$ recapeți numerele cubului sau ale unui paralelipiped.

Principiul lui Cavalieri compară două corpuri cu aceeași înălțime: dacă fiecare pereche de secțiuni la aceeași distanță de bază are arii egale, volumele sunt egale. Compară o prismă dreaptă cu una oblică, ambele cu aria bazei $12$ cm² și înălțimea perpendiculară $5$ cm. (1) Secțiunea paralelă cu baza, la orice înălțime $x\in [0;5]$, are aria $12$ cm² în fiecare prismă. (2) Se îndeplinește condiția lui Cavalieri. (3) Volumele coincid și sunt $V=A_{b}h=12\cdot 5=60$ cm³. Înclinarea muchiilor laterale nu schimbă înălțimea perpendiculară. Relația lui Euler numără elemente ale poliedrului; Cavalieri privește secțiunile și volumul.

Relația lui Euler se aplică poliedrelor convexe și, mai general, poliedrelor fără găuri. Un cadru de tablou, adică un poliedru cu o gaură, nu o verifică: pentru el $V-M+F$ este diferit de $2$. Ea permite să afli un element lipsă: dacă un poliedru convex are $F=6$ fețe și $V=8$ vârfuri, numărul muchiilor este $M=V+F-2=12$. Pentru o piramidă cu baza un poligon cu $n$ laturi avem $V=n+1$, $M=2n$ și $F=n+1$, iar $V-M+F=(n+1)-2n+(n+1)=2$. Un poliedru regulat are fețe poligoane regulate congruente și același număr de fețe în fiecare vârf; există exact cinci astfel de poliedre: tetraedrul, cubul, octaedrul, dodecaedrul și icosaedrul.

Exemplu rezolvat. Un poliedru convex are toate fețele triunghiuri și $12$ vârfuri. Află numărul muchiilor și al fețelor.

1. Fiecare față are $3$ muchii, iar fiecare muchie aparține la două fețe, deci $3F=2M$.
2. Relația lui Euler este $V-M+F=2$, cu $V=12$: $12-M+F=2$, adică $M=F+10$.
3. Din $3F=2M=2F+20$ rezultă $F=20$, iar $M=30$.

Verificare: $12-30+20=2$. Un astfel de poliedru este icosaedrul regulat.

Exemplu rezolvat. Din fiecare vârf al unui cub se taie un colț cu planul care trece prin mijloacele celor trei muchii care pornesc din acel vârf. Câte vârfuri, muchii și fețe are corpul rămas?

1. Noile vârfuri sunt mijloacele celor $12$ muchii ale cubului, deci $V=12$.
2. Cele $6$ fețe pătrate ale cubului rămân fețe (devin pătrate mai mici), iar fiecare colț tăiat lasă un triunghi nou: $F=6+8=14$.
3. Din $V-M+F=2$ rezultă $M=12+14-2=24$.

Verificare prin numărare: în fiecare vârf nou se întâlnesc $4$ muchii, deci $M=\frac{12\cdot 4}{2}=24$. Corpul obținut se numește cuboctaedru. Pentru o piramidă patrulateră, $V=5$, $M=8$, $F=5$ și $5-8+5=2$, ceea ce arată că relația se verifică și când numărul vârfurilor este egal cu cel al fețelor.

Greșeli frecvente

• Greșit: relația lui Euler pentru un poliedru convex este $V+M+F=2$.
  Corect: este $V-M+F=2$; pentru cub, $8-12+6=2$.
• Greșit: la prisma cu bază triunghiulară numeri numai cele două baze ca fețe.
  Corect: are și trei fețe laterale, deci $F=5$.
• Greșit: baze cu arii egale asigură singure volume egale.
  Corect: compari și înălțimile, respectiv ariile secțiunilor la aceeași înălțime.

Înainte și după