Numărul de aur

Un segment este împărțit în raportul de aur când raportul întregului la partea mare este egal cu raportul părții mari la partea mică. Acest raport este $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618$. Un dreptunghi cu raportul laturii mari la cea mică egal cu $\phi$ se numește dreptunghi de aur.

Exemplu rezolvat. Dacă latura mică a unui dreptunghi de aur este $2$ cm:

1. Scriem $L/2=\phi$.
2. Înmulțim cu $2$: $L=2\phi$.
3. $L=1+\sqrt{5}$ cm, aproximativ $3,236$ cm.

Din relația $\phi =1+1/\phi$ rezultă ecuația ${\phi }^2-\phi -1=0$ și valoarea pozitivă de mai sus. Dacă tai dintr-un dreptunghi de aur un pătrat cu latura cât latura mică, dreptunghiul rămas are din nou același raport. Prezența aproximativă a unui raport într-o imagine nu dovedește că proiectantul l-a ales intenționat.

Pentru construcția raportului de aur pe un segment $AB$ de lungime $a$, marchează mijlocul $M$ al lui $AB$. Ridică în $B$ perpendiculara $BC$ de lungime $a/2$ și trasează segmentul $AC$. Pe semidreapta $AC$, marchează $D$ astfel încât $CD=CB$. Atunci $AD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$, iar cercul cu centrul $A$ și raza $AD$ taie $AB$ în punctul $E$ al diviziunii de aur.

Rezolvarea ecuației ${\phi }^2=\phi +1$ se face cu formula ecuației de gradul al doilea: $\Delta =1+4=5$, deci $\phi =\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$. Se păstrează rădăcina pozitivă, $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618$, fiindcă este un raport de lungimi. Cealaltă rădăcină, $\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618$, este negativă și se respinge. Numărul de aur are o proprietate neobișnuită: $\phi -1=\frac{1}{\phi }\approx 0,618$.

Exemplu rezolvat. Un segment $AB$ de $10$ cm este împărțit de punctul $E$ în raport de aur, cu $AE>EB$. Află $AE$ și $EB$.

1. Condiția este $\frac{AB}{AE}=\frac{AE}{EB}=\phi$, adică $AE=\frac{AB}{\phi }$.
2. Cum $\frac{1}{\phi }=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$, rezultă $AE=10\cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2}=5(\sqrt{5}-1)\approx 6,18$ cm.
3. Atunci $EB=AB-AE=10-5\sqrt{5}+5=15-5\sqrt{5}\approx 3,82$ cm.

Verificare: raportul $\frac{AE}{EB}=\frac{5(\sqrt{5}-1)}{15-5\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}-1}{3-\sqrt{5}}=\frac{(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{5})}{4}=\frac{3\sqrt{5}+5-3-\sqrt{5}}{4}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\phi$.

Exemplu rezolvat. Un dreptunghi de aur are perimetrul $20$ cm. Află laturile.

1. Notăm lățimea cu $l$ și lungimea cu $L=\phi l$.
2. Perimetrul este $2(l+L)=2l(1+\phi )=20$, deci $l(1+\phi )=10$.
3. Cum $1+\phi ={\phi }^2$, avem $l=\frac{10}{{\phi }^2}$. Numeric, ${\phi }^2\approx 2,618$, deci $l\approx 3,82$ cm și $L\approx 6,18$ cm.

Verificare: $2(3,82+6,18)=20$ cm, iar $\frac{6,18}{3,82}\approx 1,618$.

Relația $\phi =1+\frac{1}{\phi }$ poate fi folosită pentru aproximare: pornești de la $x_1=1$ și calculezi $x_{n+1}=1+\frac{1}{x_n}$. Obții pe rând $1;2;\frac{3}{2};\frac{5}{3};\frac{8}{5};\frac{13}{8}$, adică $1;2;1,5;1,667;1,6;1,625$. Aceste valori sunt rapoarte de numere Fibonacci consecutive, oscilează în jurul lui $\phi$ și se apropie tot mai mult de $1,618$. Fiecare pas folosește numai o împărțire și o adunare, deci aproximarea se face ușor cu calculatorul de buzunar. Eroarea scade repede, ca la orice aproximare bună: după zece termeni, valoarea diferă de $\phi$ cu mai puțin de o miime.

Dacă tai din dreptunghi un pătrat cu latura egală cu $l$, rămâne un dreptunghi cu laturile $l$ și $L-l=\frac{l}{\phi }$. Raportul lor este $\frac{l}{l/\phi }=\phi$, deci dreptunghiul rămas este tot de aur, și operația se poate repeta fără sfârșit. Numărul de aur apare și în desen și arhitectură, dar potrivirea trebuie verificată prin măsurare, nu presupusă. El apare sigur în pentagonul regulat: raportul dintre diagonală și latură este $\phi$. Șirul lui Fibonacci $1;1;2;3;5;8;13;\dots$ are rapoartele consecutive $\frac{8}{5}=1,6$, $\frac{13}{8}=1,625$ care se apropie de $\phi$.

Din ${\phi }^2=\phi +1$ se pot reduce și puterile mai mari ale lui $\phi$: ${\phi }^3=\phi \cdot {\phi }^2={\phi }^2+\phi =2\phi +1\approx 4,236$, iar ${\phi }^4=\phi \cdot {\phi }^3=2{\phi }^2+\phi =3\phi +2\approx 6,854$. Coeficienții sunt numere Fibonacci consecutive.

Greșeli frecvente

• Greșit: punctul care împarte un segment în raport de aur este mijlocul lui.
  Corect: părțile sunt inegale; partea mare este $\frac{1}{\phi }\approx 0,618$ din segment, iar cea mică $\approx 0,382$.
• Greșit: $\phi$ este exact $1,618$.
  Corect: acesta este o aproximație; valoarea exactă este $(1+\sqrt{5})/2$.
• Greșit: orice dreptunghi plăcut vizual este dreptunghi de aur.
  Corect: raportul laturilor trebuie verificat.
• Greșit: o potrivire aproximativă dovedește o intenție de proiectare.
  Corect: pentru aceasta sunt necesare dovezi separate.

Înainte și după