Descompunerea corpurilor compuse

Un corp compus poate fi despărțit în corpuri familiare, precum prisme și cilindri. Volumul întregului este suma volumelor părților care nu se suprapun; pentru o cavitate se scade volumul decupat. La aria exterioară nu se adună fețele comune aflate în interiorul corpului.

Exemplu rezolvat. Două paralelipipede fără suprapunere au dimensiunile $2\times 3\times 4$ cm și $1\times 2\times 3$ cm.

1. Primul are volumul $2\cdot 3\cdot 4=24{\mathrm{cm}}^3$.
2. Al doilea are $1\cdot 2\cdot 3=6{\mathrm{cm}}^3$.
3. Corpul compus are volumul $30{\mathrm{cm}}^3$.

Înainte de calcul, trasează planurile de separare și verifică faptul că piesele umplu corpul exact, fără goluri și fără suprapuneri. Pentru un corp obținut prin decupare, $V=V_{\text{inițial}}-V_{\text{gol}}$. La suprafața totală, fețele lipite între piese dispar de pe exterior, în timp ce suprafețele interioare ale unei cavități pot conta dacă se cere aria materialului expus.

Când două corpuri se lipesc pe o față de arie $A_c$ fără suprapunere în interior, volumul corpului compus este $V_1+V_2$, iar aria exterioară este $A_1+A_2-2A_c$. Scazi de două ori aria de contact, fiindcă fiecare corp avea acea față în aria proprie, dar niciuna nu rămâne la exterior.

Exemplu rezolvat. Un corp în formă de „L” este alcătuit din două paralelipipede lipite pe o față comună: unul de $4\times 3\times 2$ cm și altul de $2\times 3\times 2$ cm, care se lipesc cu fața $3\times 2$ cm. Află volumul și aria exterioară.

1. Volumul: $V=4\cdot 3\cdot 2+2\cdot 3\cdot 2=24+12=36$ cm${}^3$.
2. Aria primului paralelipiped: $2(4\cdot 3+4\cdot 2+3\cdot 2)=2\cdot 26=52$ cm${}^2$. Aria celui de-al doilea: $2(2\cdot 3+2\cdot 2+3\cdot 2)=2\cdot 16=32$ cm${}^2$.
3. Fața lipită are aria $A_c=3\cdot 2=6$ cm${}^2$ și dispare din exterior pentru ambele piese.
4. Aria exterioară este $52+32-2\cdot 6=72$ cm${}^2$.

Un corp cu cavitate se tratează invers: o cutie de $5\times 4\times 3$ cm din care se scoate un cub de muchie $2$ cm are volumul $60-8=52$ cm${}^3$. Aria materialului expus crește cu aria laterală a cavității, dacă aceasta este deschisă spre exterior.

Exemplu rezolvat. Un cilindru de rază $3$ cm și înălțime $10$ cm are, de-a lungul axei, o gaură cilindrică de rază $1$ cm. Calculează volumul rămas.

1. Volumul cilindrului plin este $\pi \cdot 3^2\cdot 10=90\pi$ cm${}^3$.
2. Volumul găurii este $\pi \cdot 1^2\cdot 10=10\pi$ cm${}^3$.
3. Volumul rămas este $90\pi -10\pi =80\pi$ cm${}^3$.

Răspuns: $80\pi$ cm${}^3\approx 251,3$ cm${}^3$.

Metoda se aplică și când corpul se completează până la un corp simplu și apoi se scade partea adăugată. O piesă în formă de „L”, cu dimensiunile exterioare $6\times 4\times 2$ cm din care lipsește un colț de $3\times 2\times 2$ cm, are volumul $48-12=36$ cm${}^3$, același rezultat ca prin descompunerea în două paralelipipede. Alegi metoda cu cele mai puține calcule, iar a doua metodă servește la verificare. Toate dimensiunile se aduc la aceeași unitate înainte de calcul, iar răspunsul se scrie cu unitatea potrivită: ${\mathrm{cm}}^3$ pentru volum și ${\mathrm{cm}}^2$ pentru arie. Pentru corpuri de rotație compuse, de exemplu un cilindru cu o emisferă deasupra, volumul este suma volumelor, iar aria exterioară include aria laterală a cilindrului, aria unei baze și aria emisferei, fără aria cercului pe care emisfera este lipită. Dacă un enunț dă dimensiunile în metri și în centimetri, le transformi pe toate într-o singură unitate înainte de a calcula.

Greșeli frecvente

• Greșit: la un corp cu gaură, aria exterioară rămâne aceeași cu a corpului plin.
  Corect: gaura scoate două discuri din fețele de capăt, dar adaugă aria laterală a găurii, deci aria expusă se schimbă.
• Greșit: se adună volumele unor piese care se suprapun.
  Corect: zona comună se numără o singură dată.
• Greșit: fețele lipite se includ în aria exterioară.
  Corect: ele sunt interioare.
• Greșit: volumul unei cavități se adaugă la corp.
  Corect: se scade.

Înainte și după