Proporții armonice

Într-o compoziție geometrică, proporțiile compară dimensiunile părților. Două dreptunghiuri de aceeași formă au același raport între laturile corespunzătoare. În matematică, media armonică a două numere pozitive $a,b$ este $H=2ab/(a+b)$; echivalent, $1/H$ este media aritmetică a lui $1/a$ și $1/b$. Cuvântul „armonic” nu înseamnă că un anumit raport face automat o compoziție frumoasă.

Exemplu rezolvat. Parcurgem două segmente de aceeași lungime cu vitezele $30$ și $60$ km/h.

1. Pentru câte $1$ km, timpii sunt $1/30$ și $1/60$ ore.
2. Viteza medie pe cei $2$ km este $2/(1/30+1/60)$.
3. Obținem $40$ km/h, adică media armonică a vitezelor, nu media lor aritmetică.

Trei numere pozitive $a,b,c$ formează o progresie armonică dacă inversele $1/a,1/b,1/c$ formează o progresie aritmetică. De pildă, $2,3,6$ sunt armonice, deoarece $1/2,1/3,1/6$ au diferența $-1/6$. Pentru puncte $A,B,C,D$ de pe aceeași dreaptă, cu $C$ pe segmentul $AB$ și $D$ în exterior, împărțirea este armonică dacă $CA/CB=DA/DB$.

Într-un model geometric cu laturi de $6$ cm și $3$ cm, media armonică a lungimilor este $H=\frac{2\cdot 6\cdot 3}{6+3}=4$ cm. Această medie se află între cele două lungimi. Pentru diviziunea armonică a unui segment, verifică separat dacă unul dintre puncte se află pe prelungirea segmentului.

Pentru două numere pozitive $a$ și $b$, cele trei medii satisfac $H\le G\le A$, unde $A=\frac{a+b}{2}$ este media aritmetică, $G=\sqrt{ab}$ media geometrică și $H=\frac{2ab}{a+b}$ media armonică; egalitățile au loc dacă și numai dacă $a=b$. În plus, $G^2=A\cdot H$. Pentru $a=6$ și $b=3$: $A=4,5$, $G=3\sqrt{2}\approx 4,24$, $H=4$, iar $A\cdot H=18=G^2$.

Exemplu rezolvat. Un robinet umple singur un bazin în $6$ ore, altul în $3$ ore. În cât timp îl umplu împreună și ce legătură are rezultatul cu media armonică?

1. Într-o oră primul umple $\frac{1}{6}$ din bazin, al doilea $\frac{1}{3}$.
2. Împreună umplu într-o oră $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$ din bazin.
3. Timpul necesar este $2$ ore, adică jumătate din media armonică a duratelor, $\frac{H}{2}=\frac{4}{2}$.

Rezultatul $2$ ore confirmă formula timpului comun $\frac{ab}{a+b}=\frac{6\cdot 3}{9}=2$.

Exemplu rezolvat. Pe dreapta numerică, $A$ are coordonata $0$ și $B$ coordonata $6$. Aflăm punctele $C$ și $D$ care împart segmentul $AB$ armonic în raportul $2$.

1. Punctul interior $C$ satisface $\frac{CA}{CB}=2$, deci $CA=2CB$ și $CA+CB=6$, de unde $CA=4$: $C$ are coordonata $4$.
2. Punctul exterior $D$, aflat dincolo de $B$, satisface $\frac{DA}{DB}=2$, deci $DA=12$ și $DB=6$: $D$ are coordonata $12$.
3. Mijlocul $M$ al lui $AB$ are coordonata $3$ și verifică $M{B}^2=MC\cdot MD$, adică $9=1\cdot 9$.

Perechile $(A,B)$ și $(C,D)$ se numesc conjugate armonic.

Exemplu rezolvat. Un automobil parcurge $120$ km dus cu $40$ km/h și aceiași $120$ km la întoarcere cu $60$ km/h. Care este viteza medie?

1. Timpii sunt $3$ și $2$ ore, deci $5$ ore pentru $240$ km și viteza medie este $48$ km/h.
2. Media armonică dă același rezultat: $\frac{2\cdot 40\cdot 60}{40+60}=48$. Proporțiile apar în arhitectură și artă ca rapoarte între dimensiunile unei compoziții, de exemplu între lățimea și înălțimea unei fațade. Matematica oferă instrumentul de comparare, nu o rețetă de frumusețe: un raport se măsoară, se compară cu altele și se justifică prin criteriul ales, fără a pretinde că unul singur este „corect”. Un exemplu numeric de progresie armonică: $12;6;4;3$ are inversele $\frac{1}{12};\frac{1}{6};\frac{1}{4};\frac{1}{3}$, o progresie aritmetică cu rația $\frac{1}{12}$; astfel, termenul central dintre doi termeni vecini este media armonică a lor: $\frac{2\cdot 6\cdot 3}{6+3}=4$. Același lucru este valabil la mediile numerice: media aritmetică, geometrică și armonică răspund la întrebări diferite, iar cea potrivită depinde de modelul problemei.

Greșeli frecvente

• Greșit: media geometrică și media armonică a două numere diferite sunt egale.
  Corect: pentru $a=6$ și $b=3$ ele sunt $3\sqrt{2}$ și $4$; $G\ne H$ dacă $a\ne b$.
• Greșit: media vitezelor pe două distanțe egale este media aritmetică.
  Corect: este media armonică.
• Greșit: $2,3,6$ este progresie aritmetică.
  Corect: inversele termenilor formează progresie aritmetică, deci progresia este armonică.
• Greșit: un raport ales estetic este o regulă matematică obligatorie pentru orice proiect.
  Corect: raportul descrie o alegere de compoziție.

Înainte și după