Semnul funcției de gradul al doilea

Semnul unei funcții spune unde rezultatul ei este pozitiv, zero ori negativ. Pentru $f(x)=x^2-4$, descompunem $f(x)=(x-2)(x+2)$. Rezultatul este zero la $x=-2$ și $x=2$. Între aceste valori, de pildă la $x=0$, obținem $f(0)=-4$, deci funcția este negativă acolo.

Pentru a afla semnul pe toate valorile, desenează o axă și marchează zerourile. Ele împart axa în intervale. Pe fiecare interval, semnul fiecărui factor rămâne același, așa că poți testa un număr sau poți face un tabel de semne. Pentru $x<-2$, ambii factori sunt negativi și produsul este pozitiv. Pentru $x>2$, ambii sunt pozitivi, deci produsul este iar pozitiv.

La o problemă de tipul $f(x)>0$, rădăcinile nu se includ. La $f(x)\ge 0$, se includ, pentru că zero este permis. Nu presupune că expresia este pozitivă doar fiindcă apare un pătrat: $x^2-4$ poate fi negativ după ce scazi $4$. Dacă nu poți factoriza ușor, folosește discriminantul și semnul coeficientului principal, ca în secțiunea următoare.

Exemplu rezolvat. Rezolvă $x^2-4\le 0$.

1. Scriem $(x-2)(x+2)\le 0$.
2. Zerourile sunt $-2$ și $2$.
3. Produsul este negativ între ele și zero la capete.
4. Soluțiile sunt $x\in [-2;2]$.

Regula semnului. Fie $f(x)=a{x}^2+bx+c$, cu $a\ne 0$, și $\Delta =b^2-4ac$. Graficul este o parabolă, iar semnul lui $f$ arată dacă ea se află deasupra axei $Ox$ ($f>0$) sau dedesubt ($f<0$). Trei cazuri:

• $\Delta >0$: există rădăcinile $x_1<x_2$ și $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$. În afara segmentului $[x_1;x_2]$ semnul este cel al lui $a$, între rădăcini este opus lui $a$, iar în $x_1$ și $x_2$ valoarea este zero.
• $\Delta =0$: $f(x)=a(x-x_0{)}^2$, cu $x_0=-\frac{b}{2a}$. Semnul este cel al lui $a$ pentru orice $x\ne x_0$, iar în $x_0$ valoarea este zero.
• $\Delta <0$: funcția nu se anulează și are peste tot semnul lui $a$.

Pe grafic, soluțiile lui $f(x)>0$ sunt abscisele punctelor parabolei situate deasupra axei $Ox$, iar soluțiile lui $f(x)<0$ sunt abscisele punctelor de sub axă. De aceea orientarea ramurilor ($a>0$ sau $a<0$) și numărul intersecțiilor cu $Ox$ ($\Delta$) cuprind tot ce trebuie știut despre semn. Inegalitățile stricte exclud rădăcinile din soluție, iar cele nestricte le includ. Pentru $a$ dependent de un parametru, valoarea care anulează coeficientul principal schimbă gradul și se analizează separat.

Semn constant pe $\mathbb{R}$. Funcția păstrează semnul pe toată axa în patru situații: $f(x)>0$ pentru orice $x$ dacă și numai dacă $a>0$ și $\Delta <0$; $f(x)\ge 0$ pentru orice $x$ dacă și numai dacă $a>0$ și $\Delta \le 0$; $f(x)<0$ pentru orice $x$ dacă și numai dacă $a<0$ și $\Delta <0$; $f(x)\le 0$ pentru orice $x$ dacă și numai dacă $a<0$ și $\Delta \le 0$.

Exemplu rezolvat 1. Rezolvăm $-x^2+2x+3\ge 0$.

1. Ecuația asociată se factorizează $-(x-3)(x+1)=0$, cu rădăcinile $-1$ și $3$.
2. Coeficientul principal este negativ, deci expresia este pozitivă între rădăcini.
3. La capete, valoarea este zero și satisface inegalitatea.
4. Soluțiile sunt $[-1;3]$. Verificările dau $f(0)=3>0$ în interior și $f(4)=-5<0$ în exterior.

Exemplu rezolvat 2. Studiem semnul lui $f(x)=4x^2-12x+9$ și al lui $g(x)=x^2+x+1$.

1. Pentru $f$, $\Delta =144-144=0$ și $f(x)=(2x-3{)}^2$. Deci $f(x)>0$ pentru $x\ne \frac{3}{2}$ și $f\left(\frac{3}{2}\right)=0$; inecuația $f(x)\le 0$ are o singură soluție, $x=\frac{3}{2}$, iar $f(x)<0$ nu are soluții.
2. Pentru $g$, $\Delta =1-4=-3<0$ și $a=1>0$, deci $g(x)>0$ pentru orice real $x$.

Exemplu rezolvat 3. Aflăm $m$ pentru care $x^2-2mx+m+2>0$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

1. Coeficientul principal este $1>0$, deci cerem $\Delta <0$.
2. $\Delta =4m^2-4(m+2)=4(m-2)(m+1)<0$ dă $m\in (-1;2)$.
3. La $m=2$ și $m=-1$ avem $\Delta =0$, deci există o rădăcină dublă în care valoarea este zero; capetele se exclud.

Exemplu rezolvat 4. Aflăm domeniul funcției $f(x)=\sqrt{x^2-5x+6}$.

1. Radicalul cere $x^2-5x+6\ge 0$, iar $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ are rădăcinile $2$ și $3$.
2. Coeficientul principal este pozitiv, deci trinomul este nenegativ pe $(-\infty ;2]$ și pe $[3;+\infty )$ și negativ pe $(2;3)$.
3. Domeniul este $(-\infty ;2]\cup [3;+\infty )$. Verificare: $x=0$ dă $6\ge 0$, iar $x=2,5$ dă $-0,25<0$, deci $2,5$ nu aparține domeniului.

Poziția unui număr față de rădăcini. Dacă pentru un număr $\alpha$ avem $a\cdot f(\alpha )<0$, atunci $f(\alpha )$ are semn opus lui $a$, deci $\Delta >0$ și $\alpha$ se află între rădăcini. În exemplul 4, $a\cdot f(2,5)=-0,25<0$, așadar $2,5\in (2;3)$.

Problemele cer mulțimea valorilor unui parametru pentru care un trinom păstrează semn constant. Dacă și coeficientul principal depinde de parametru, se analizează separat valoarea care îl anulează, apoi cazul în care el este nenul, cu condițiile pe $a$ și pe $\Delta$.

Problemă rezolvată. Mulțimea valorilor lui $m$ pentru care $(m-1)x^2+(m-1)x+1>0$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$ este:

a) $(1;5)$ b) $[1;5)$ c) $[1;5]$ d) $(-\infty ;1)\cup (5;+\infty )$ e) $(1;+\infty )$ f) $(0;4)$

1. Pentru $m=1$ inegalitatea devine $1>0$, adevărată pentru orice $x$; deci $m=1$ convine.
2. Pentru $m\ne 1$ trebuie $m-1>0$ și $\Delta =(m-1{)}^2-4(m-1)=(m-1)(m-5)<0$.
3. Din $m>1$ și $(m-1)(m-5)<0$ rezultă $m\in (1;5)$.
4. Reunind cu $m=1$: $m\in [1;5)$. Pentru $m=5$ avem $4x^2+4x+1=(2x+1{)}^2$, care este zero la $x=-\frac{1}{2}$, deci $5$ nu convine.
5. Verificare: pentru $m=3$ avem $2x^2+2x+1$ cu $\Delta =-4<0$, pozitiv peste tot; pentru $m=6$ avem $5x^2+5x+1$ cu $\Delta =5>0$, negativ între rădăcini; pentru $m=0$ avem $-x^2-x+1<0$ la $x=1$.

Răspuns corect: b). Variantele greșite: a) uită cazul $m=1$, în care coeficientul principal este zero; c) include $5$, deși acolo $\Delta =0$ și inegalitatea strictă cade într-un punct; d) inversează sensul inegalității $(m-1)(m-5)<0$; e) reține numai condiția $m-1>0$; f) înlocuiește $m-1$ cu $m$ în coeficienți.

Un caz înrudit este cel al rădăcinilor de semne contrare. Dacă $a\cdot c<0$, atunci $\Delta =b^2-4ac>0$ și produsul rădăcinilor $\frac{c}{a}$ este negativ. De exemplu, ecuația $x^2-3x+m-2=0$ are rădăcini reale de semne contrare dacă și numai dacă $\frac{c}{a}=m-2<0$, adică $m<2$; discriminantul $9-4(m-2)$ este atunci mai mare decât $9$, deci condiția $\Delta >0$ este îndeplinită automat.

Greșeli frecvente

• Greșit: $x^2-4>0$ are soluțiile $[-2;2]$.
  Corect: expresia este pozitivă în exterior, iar rădăcinile se exclud: $(-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )$.
• Greșit: $(x-1{)}^2$ este strict pozitiv pentru orice real.
  Corect: pentru $x=1$, valoarea este $0$.
• Greșit: dacă $\Delta <0$, inecuația $a{x}^2+bx+c<0$ are soluții pentru $a>0$.
  Corect: pentru $a>0$ și $\Delta <0$ trinomul este pozitiv peste tot, deci $a{x}^2+bx+c<0$ nu are nicio soluție reală.
• Greșit: soluția lui $x^2-x-6\le 0$ este $(-\infty ;-2]\cup [3;+\infty )$.
  Corect: rădăcinile sunt $-2$ și $3$, iar trinomul cu $a>0$ este negativ între ele; soluția este $[-2;3]$.

Înainte și după

Întrebări frecvente