Graficul funcției de gradul al doilea

Pentru regula $f(x)=x^2$, putem face un tabel: la $x=-2;-1;0;1;2$, rezultatele sunt $4;1;0;1;4$. Punctele corespunzătoare sunt $(-2;4)$, $(-1;1)$, $(0;0)$, $(1;1)$ și $(2;4)$. Ele se așază simetric față de axa verticală. Desenul care continuă această formă se numește parabolă.

O parabolă poate avea ramurile în sus sau în jos. Pentru $f(x)=x^2$, valorile sunt mereu nenegative și cel mai mic rezultat este $0$, la $x=0$. Pentru $g(x)=-x^2$, valorile sunt nepozitive și cel mai mare rezultat este $0$. Un tabel cu câteva puncte ajută la orientarea desenului, dar nu este singur dovada proprietăților pentru toate numerele reale.

Când citești graficul, punctul unde curba taie axa verticală arată valoarea la $x=0$. Punctele de pe axa orizontală au valoarea funcției egală cu zero. Dacă desenul vine dintr-o problemă concretă cu domeniu limitat, folosește numai partea corespunzătoare a curbei. Vârful și axa de simetrie se calculează din coeficienții funcției de forma $a{x}^2+bx+c$.

Exemplu rezolvat. Pentru $f(x)=x^2-1$, află trei puncte.

1. $f(-1)=0$, deci $(-1;0)$.
2. $f(0)=-1$, deci $(0;-1)$.
3. $f(1)=0$, deci $(1;0)$.

Punctele de la $-1$ și $1$ sunt simetrice față de $Oy$.

Elementele parabolei. Pentru $f(x)=a{x}^2+bx+c$, $a\ne 0$, graficul este o parabolă cu următoarele elemente:

• ramurile sunt în sus pentru $a>0$ și în jos pentru $a<0$;
• axa de simetrie este dreapta $x=-\frac{b}{2a}$, iar valorile funcției în două puncte egal depărtate de axă coincid: $f(x_V+h)=f(x_V-h)$;
• vârful este $V(x_V;y_V)$, cu $x_V=-\frac{b}{2a}$ și $y_V=f(x_V)=-\frac{\Delta }{4a}$;
• intersecția cu $Oy$ este $(0;c)$, iar simetricul ei față de axă este $(2x_V;c)$;
• intersecțiile cu $Ox$ sunt punctele $(x;0)$ cu $a{x}^2+bx+c=0$: două puncte pentru $\Delta >0$, simetrice față de axă; unul singur, chiar vârful, pentru $\Delta =0$; niciunul pentru $\Delta <0$.

Trasarea pe pași. Pentru a desena parabola:

1. se stabilește orientarea ramurilor după semnul lui $a$;
2. se calculează vârful și se trasează axa de simetrie;
3. se află intersecțiile cu $Ox$ (dacă $\Delta \ge 0$) și cu $Oy$;
4. se adaugă simetricele punctelor găsite față de axă;
5. se unește totul printr-o curbă netedă, ale cărei ramuri se depărtează de axă.

Dacă $\Delta <0$, graficul nu taie $Ox$ și se folosesc punctele de abscise $x_V\pm 1$ și $x_V\pm 2$. Pentru $f(x)=x^2+2x+3$ avem $\Delta =-8$, vârful $V(-1;2)$ și punctele $(0;3)$, $(1;6)$, $(-2;3)$, $(-3;6)$; graficul rămâne deasupra axei $Ox$.

Exemplu rezolvat 1. Pentru $f(x)=x^2-4x+3$:

1. $x_V=2$, $y_V=f(2)=-1$.
2. $f(x)=(x-1)(x-3)$, deci intersecțiile cu $Ox$ sunt $(1;0)$ și $(3;0)$.
3. Intersecția cu $Oy$ este $(0;3)$.

Forma canonică $f(x)=a(x-x_V{)}^2+y_V$ permite trasarea prin translație și schimbare de scară a parabolei $y=x^2$. Exemplu rezolvat 2. Pentru $f(x)=-x^2+4x-3$, completăm pătratul: $f(x)=-(x-2{)}^2+1$. Vârful este $(2;1)$, axa de simetrie $x=2$, iar ramurile sunt orientate în jos. Rădăcinile sunt $1$ și $3$, deci intersecțiile cu $Ox$ sunt $(1;0)$ și $(3;0)$. Punctul $(0;-3)$ este intersecția cu $Oy$, iar simetricul său față de axa parabolei este $(4;-3)$.

Exemplu rezolvat 3. Trasăm graficul lui $f(x)=2x^2-4x-6$.

1. $a=2>0$: ramurile sunt în sus. Vârful: $x_V=1$, $y_V=f(1)=-8$, deci $V(1;-8)$.
2. $\Delta =16+48=64$, iar $x=\frac{4\pm 8}{4}$ dă zerourile $-1$ și $3$: punctele $(-1;0)$ și $(3;0)$.
3. Intersecția cu $Oy$ este $(0;-6)$; simetricul ei față de $x=1$ este $(2;-6)$.
4. Tabelul $x=-1;0;1;2;3$ dă $f(x)=0;-6;-8;-6;0$, simetric față de axă.

Dreapta și parabola. Numărul de puncte comune ale graficului cu o dreaptă $y=mx+n$ este numărul soluțiilor reale ale ecuației $a{x}^2+bx+c=mx+n$: două, una (dreapta este tangentă) sau niciuna, după semnul discriminantului ecuației obținute. Pentru dreapta orizontală $y=k$ rezultatul se citește direct din vârf: dacă $a>0$, sunt două puncte pentru $k>y_V$, unul pentru $k=y_V$ și niciunul pentru $k<y_V$.

Exemplu rezolvat 4. Pentru graficul lui $f(x)=x^2-4x+3$, cu $V(2;-1)$:

1. Dreapta $y=2$ are $2>-1$, deci taie parabola în două puncte: $x^2-4x+1=0$ dă $x=2\pm \sqrt{3}$.
2. Dreapta $y=-1$ este tangentă în vârf, în $(2;-1)$; dreapta $y=-3$ nu are puncte comune cu graficul.
3. Dreapta $y=x-1$: $x^2-4x+3=x-1$ dă $x^2-5x+4=0$, deci $x=1$ sau $x=4$, adică punctele $(1;0)$ și $(4;3)$.

Forma canonică determină rapid parabola când se cunosc vârful și încă un punct. Problemele cer vârful, intersecțiile cu axele și figuri formate cu ele: pentru o parabolă cu $\Delta >0$, distanța dintre cele două intersecții cu $Ox$ este $|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{\Delta }}{|a|}$, iar înălțimea vârfului față de $Ox$ este $|y_V|=\frac{|\Delta |}{4|a|}$.

Problemă rezolvată. Fie $A$ și $B$ punctele de intersecție ale graficului lui $f(x)=2x^2-12x+10$ cu axa $Ox$ și $V$ vârful parabolei. Aria triunghiului $VAB$ este:

a) $20$ b) $64$ c) $8$ d) $16$ e) $24$ f) $32$

1. $\Delta =144-80=64$, iar rădăcinile $x=\frac{12\pm 8}{4}$ sunt $1$ și $5$, deci $AB=4$.
2. $x_V=3$ și $y_V=f(3)=-8$, deci înălțimea din $V$ pe $AB$ este $8$.
3. Aria este $\frac{4\cdot 8}{2}=16$.

Răspuns corect: d). Variantele greșite: a) ia înălțimea $c=10$ (ordonata punctului de pe $Oy$); b) folosește înălțimea $\frac{\Delta }{a}=32$ în loc de $\frac{\Delta }{4a}=8$; c) ia jumătatea bazei, $2$, drept bază; e) ia suma rădăcinilor, $6$, drept bază; f) uită factorul $\frac{1}{2}$ și calculează $4\cdot 8$.

Formula distanței dintre intersecții se justifică din rădăcinile $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$, a căror diferență în modul este $\frac{\sqrt{\Delta }}{|a|}$. Pentru parabola dată: $\frac{\sqrt{64}}{2}=4$, ca mai sus.

Alt tip. Aflăm funcția pătratică al cărei grafic are vârful $V(1;-2)$ și trece prin $(0;1)$. Scriem $f(x)=a(x-1{)}^2-2$. Din $f(0)=a-2=1$ rezultă $a=3$, deci $f(x)=3(x-1{)}^2-2=3x^2-6x+1$, cu ramuri în sus fiindcă $a=3>0$. Verificare: $f(1)=3-6+1=-2$, deci vârful este $V(1;-2)$, iar $f(0)=1$, deci punctul $(0;1)$ aparține graficului.

Greșeli frecvente

• Greșit: vârful are abscisa $b/(2a)$.
  Corect: $x_V=-b/(2a)$.
• Greșit: intersecțiile cu $Ox$ se obțin punând $x=0$.
  Corect: se rezolvă $f(x)=0$.
• Greșit: tabelul cu trei puncte dovedește toate proprietățile curbei.
  Corect: proprietățile generale se justifică algebric.
• Greșit: parabola $y=-x^2+4x-3$ are ramurile în sus, pentru că vârful $(2;1)$ are ordonata pozitivă.
  Corect: ramurile se orientează după semnul lui $a$; aici $a=-1$, deci ramurile sunt în jos, iar vârful este punctul cel mai înalt al graficului.
• Greșit: dacă $\Delta =0$, parabola nu are punct comun cu $Ox$.
  Corect: are exact unul, vârful, în care este tangentă axei.

Înainte și după

Întrebări frecvente