Monotonia funcției de gradul al doilea

Funcția $f(x)=a{x}^2+bx+c$, $a\ne 0$, își schimbă monotonia la abscisa vârfului $x_V=-\frac{b}{2a}$. Dacă $a>0$, descrește până la $x_V$ și crește după; acolo are minim. Dacă $a<0$, crește până la $x_V$ și descrește după; acolo are maxim. Pe întreg $\mathbb{R}$ funcția nu este monotonă, fiindcă axa de simetrie $x=x_V$ face ca valorile să se repete de o parte și de alta a vârfului.

Exemplu rezolvat. Pentru $f(x)=x^2-4x+3$:

1. $a=1>0$, iar $x_V=-(-4)/(2\cdot 1)=2$.
2. Funcția descrește pe $(-\infty ;2]$ și crește pe $[2;+\infty )$.
3. Minimului îi corespunde $f(2)=4-8+3=-1$.

De ce se schimbă monotonia în vârf. Pentru $x_1\ne x_2$ avem

Fie $a>0$. Dacă $x_1,x_2\ge x_V$ și $x_1\ne x_2$, atunci $x_1+x_2>2x_V=-\frac{b}{a}$, deci $a(x_1+x_2)+b>0$ și funcția este strict crescătoare pe $[x_V;+\infty )$. Dacă $x_1,x_2\le x_V$, raportul este negativ și funcția este strict descrescătoare pe $(-\infty ;x_V]$. Pentru $a<0$ semnele se inversează. Tabelul de variație rezumă rezultatul: pentru $a>0$, funcția coboară până la valoarea $y_V$ (minimul), apoi urcă; pentru $a<0$, urcă până la $y_V$ (maximul), apoi coboară.

Forma canonică. Completarea pătratului dă $f(x)=a(x-x_V{)}^2+y_V$, cu $y_V=-\frac{b^2-4ac}{4a}$. Ea explică axa de simetrie: argumentele aflate la aceeași distanță de vârf au aceeași imagine. Pentru $a>0$, din $f(p)<f(q)$ rezultă $|p-x_V|<|q-x_V|$ și invers: valoarea este cu atât mai mare cu cât argumentul este mai departe de vârf; pentru $a<0$, ordinea se inversează.

Extreme pe un interval. Pe un interval închis și mărginit, extremele se obțin comparând valorile la capete și, dacă aparține intervalului, valoarea din vârf. Dacă vârful este în exterior, funcția este monotonă pe interval și ambele extreme sunt la capete. Abscisa vârfului $x_V$ și valoarea extremă $y_V=f(x_V)$ sunt noțiuni diferite, chiar dacă numeric pot coincide. De exemplu, pentru $f(x)=x^2$, ambele sunt $0$; pentru $f(x)=x^2-2x+2$, ambele sunt $1$.

Exemplu rezolvat 1. Studiem monotonia lui $f(x)=2x^2-8x+1$ cu definiția.

1. $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=2(x_1+x_2)-8$.
2. Pentru $x_1\ne x_2$ din $[2;+\infty )$ avem $x_1+x_2>4$, deci raportul este pozitiv: $f$ crește pe $[2;+\infty )$.
3. Pentru $x_1\ne x_2$ din $(-\infty ;2]$ avem $x_1+x_2<4$, deci raportul este negativ: $f$ descrește pe $(-\infty ;2]$. Minimul este $f(2)=8-16+1=-7$.

Exemplu rezolvat 2. Comparăm $f(-1)$ și $f(4)$ pentru $f(x)=x^2-2x-3$.

1. $a=1>0$ și $x_V=1$.
2. Distanțele la vârf sunt $|-1-1|=2$ și $|4-1|=3$.
3. Cum $2<3$, rezultă $f(-1)<f(4)$. Verificare: $f(-1)=0$ și $f(4)=5$.

Exemplu rezolvat 3. Găsim extremele lui $f(x)=-x^2+6x-5$ pe $[0;4]$.

1. Scriem $f(x)=-(x-3{)}^2+4$. Vârful are coordonatele $(3;4)$.
2. Funcția este crescătoare pe $[0;3]$ și descrescătoare pe $[3;4]$. Vârful aparține intervalului, deci $\max f=f(3)=4$.
3. La capete, $f(0)=-5$ și $f(4)=3$.
4. Prin comparație, $\min f=f(0)=-5$, iar $\max f=f(3)=4$.

Exemplu rezolvat 4. Aflăm mulțimea valorilor lui $f(x)=x^2-4x+3$ pe $[3;5]$. Vârful $x_V=2$ nu aparține intervalului, iar pe $[3;5]$ funcția este crescătoare. Deci $f(3)=0$ este minimul, $f(5)=8$ este maximul, iar mulțimea valorilor este $[0;8]$.

Cum se scriu intervalele. Vârful aparține ambelor intervale de monotonie, deci se scriu cu paranteză pătrată la $x_V$: pentru $x^2-4x+3$, descreștere pe $(-\infty ;2]$ și creștere pe $[2;+\infty )$. Nu se spune că funcția este monotonă pe $\mathbb{R}$: pentru $x_1=0$ și $x_2=4$ avem $f(x_1)=f(x_2)=3$, deși $x_1\ne x_2$.

Monotonia și ecuațiile. Pe un interval în care $f$ este strict monotonă, ecuația $f(x)=k$ are cel mult o soluție. Pentru $f(x)=x^2-4x+3$ și $k=8$, ecuația $x^2-4x-5=0$ are soluțiile $5$ și $-1$; pe $[2;+\infty )$, unde $f$ crește, convine doar $x=5$, iar pe $(-\infty ;2]$, unde $f$ descrește, convine doar $x=-1$.

La admitere se cere valoarea unui parametru pentru care funcția este monotonă pe un interval dat. Condiția este că intervalul se află de o parte a vârfului: pentru $a>0$ funcția descrește pe $(-\infty ;x_V]$ și crește pe $[x_V;+\infty )$, iar pentru $a<0$ monotonia este inversă. De aceea inegalitatea dintre extremitățile intervalului și $x_V$ depinde de semnul lui $a$ și de sensul monotoniei cerute.

Problemă rezolvată. Mulțimea valorilor lui $m$ pentru care funcția $f_m(x)=x^2-2mx+1$ este descrescătoare pe $[0;2]$ este:

a) $m\le 0$ b) $m\ge 2$ c) $m\ge 1$ d) $m\le 2$ e) $0\le m\le 2$ f) $m\ge 4$

1. Abscisa vârfului este $x_V=m$, iar parabola are ramurile în sus.
2. Funcția descrește pe $(-\infty ;m]$, deci $[0;2]$ trebuie inclus în acest interval.
3. Aceasta înseamnă $2\le m$, adică $m\ge 2$.
4. Dacă $m<2$, există o porțiune din $[0;2]$ situată după vârf, unde funcția crește; de exemplu, pentru $m=1$ funcția scade pe $[0;1]$ și crește pe $[1;2]$.

Răspuns corect: b). Variantele greșite: a) este condiția ca funcția să fie crescătoare pe $[0;2]$ ($m\le 0$); c) ia vârful în $2m$ și obține $2m\ge 2$; d) inversează sensul inegalității; e) cere ca vârful să fie în interiorul intervalului, caz în care funcția nu este monotonă; f) ia vârful în $\frac{m}{2}$ și obține $\frac{m}{2}\ge 2$.

Alt exemplu. Pentru ce valori ale lui $m$ este $f(x)=-x^2+(m-1)x+2$ descrescătoare pe $[1;+\infty )$? Aici $a=-1<0$, deci $f$ descrește pe $[x_V;+\infty )$, cu $x_V=\frac{m-1}{2}$. Intervalul $[1;+\infty )$ trebuie inclus în acesta, deci $x_V\le 1$, adică $m\le 3$. Pentru $m=3$ avem $f(x)=-x^2+2x+2$, cu vârful în $x=1$: funcția scade pe $[1;+\infty )$, așa cum se cere.

Greșeli frecvente

• Greșit: pentru $-x^2+6x-5$, maximul este $3$.
  Corect: $3$ este abscisa vârfului; valoarea maximă este $4$.
• Greșit: minimul aceleiași funcții pe $[0;4]$ se află în vârf.
  Corect: coeficientul principal negativ dă maxim în vârf; minimul este $f(0)=-5$.
• Greșit: funcția $f(x)=x^2-4x+3$ crește pe $(-\infty ;2]$, pentru că $a=1>0$.
  Corect: pentru $a>0$ funcția descrește până la vârf; pe $(-\infty ;2]$ este descrescătoare, de exemplu $f(0)=3>f(1)=0$.
• Greșit: $f(x)=x^2-4x+3$ este monotonă pe $[1;4]$.
  Corect: vârful $x_V=2$ aparține intervalului, deci funcția descrește pe $[1;2]$ și crește pe $[2;4]$.
• Greșit: pe $[3;5]$ minimul funcției $x^2-4x+3$ se află în vârf, la $x=2$.
  Corect: vârful nu aparține intervalului; funcția crește și minimul este $f(3)=0$.

Înainte și după