Paritate și periodicitate

O funcție este pară dacă domeniul este simetric față de zero și $f(-x)=f(x)$ pentru orice $x$ din domeniu. Graficul ei este simetric față de $Oy$. Este impară dacă domeniul este simetric față de zero și $f(-x)=-f(x)$ pentru orice $x$ din domeniu; graficul ei este simetric față de origine. O funcție poate fi și nici pară, nici impară.

O funcție este periodică dacă există un număr $T>0$ astfel încât, pentru orice $x$ din domeniu, $x+T$ și $x-T$ aparțin domeniului și $f(x+T)=f(x)$. Cel mai mic astfel de $T$ se numește perioadă principală. Sinusul și cosinusul au perioada principală $2\pi$, iar tangenta are perioada principală $\pi$. Graficul unei funcții periodice se repetă pe fiecare interval de lungime $T$.

Exemplu rezolvat. Verifică $f(x)=x^2+1$.

1. Domeniul $\mathbb{R}$ este simetric.
2. $f(-x)=(-x{)}^2+1=x^2+1=f(x)$.
3. Funcția este pară.

Paritatea, pas cu pas. Întâi se verifică dacă domeniul este simetric față de zero: din $x\in D$ trebuie să rezulte $-x\in D$. Dacă nu, funcția nu este nici pară, nici impară. Apoi se calculează $f(-x)$ și se compară cu $f(x)$ și cu $-f(x)$, pentru $x$ arbitrar din domeniu. Pentru a arăta că o funcție nu este pară sau nu este impară, ajunge un singur $x$ pentru care egalitatea cade. Dacă $f$ este impară și $0$ aparține domeniului, atunci $f(0)=-f(0)$, deci $f(0)=0$.

Pe un domeniu comun simetric, suma a două funcții pare este pară, suma a două funcții impare este impară, produsul a două funcții de aceeași paritate este par, iar produsul dintre o funcție pară și una impară este impar. Funcția nulă este simultan pară și impară. Un polinom care conține numai puteri pare ale lui $x$ este pară, de exemplu $x^4-3x^2$; unul cu numai puteri impare este impar, de exemplu $x^5+x$; iar $x^4+x$ nu este nici pară, nici impară, fiindcă amestecă ambele feluri de puteri.

Periodicitatea. Dacă $T$ este perioadă, atunci și $2T;3T;\dots$ sunt perioade, deci o funcție periodică are infinit de multe perioade. Cea mai mică perioadă pozitivă, dacă există, se numește perioadă principală. Pentru $a\ne 0$, sinusul și cosinusul de argument $ax+b$ au perioada principală $2\pi /|a|$, iar tangenta are $\pi /|a|$. O funcție constantă admite orice perioadă pozitivă și nu are una minimă. Partea fracționară $\{x\}$ are perioada principală $1$. Dacă $T_1$ este perioadă pentru $f$, $T_2$ este perioadă pentru $g$ și $T=m{T}_1=n{T}_2$ cu $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, atunci $T$ este perioadă și pentru $f+g$. Translația argumentului păstrează perioada, dar poate schimba paritatea. O funcție periodică se studiază pe un singur interval de lungime $T$, iar graficul întreg se obține prin translații cu $kT$, $k\in \mathbb{Z}$.

Exemplu rezolvat 1. Analizăm $f(x)=x^3-4x$ și $g(x)=x^2+x$ pe $\mathbb{R}$.

1. Domeniul $\mathbb{R}$ este simetric.
2. $f(-x)=-x^3+4x=-f(x)$, deci $f$ este impară.
3. Pentru $g$ avem $g(1)=2$ și $g(-1)=0$. Cum $0\ne 2$, $g$ nu este pară; cum $0\ne -2$, nu este nici impară.

Exemplu rezolvat 2. Studiem $h(x)=|x-1|+|x+1|$.

1. Domeniul $\mathbb{R}$ este simetric.
2. $h(-x)=|-x-1|+|-x+1|=|x+1|+|x-1|=h(x)$, deci $h$ este pară.
3. Valorile $h(0)=2$, $h(1)=h(-1)=2$ și $h(2)=h(-2)=4$ confirmă simetria față de $Oy$.

Exemplu rezolvat 3. Analizăm $f(x)=\cos (3x)$ pe $\mathbb{R}$.

1. Domeniul este simetric, iar $f(-x)=\cos (-3x)=\cos (3x)$, deci funcția este pară.
2. Pentru repetarea valorilor, creșterea argumentului cosinusului trebuie să fie un multiplu de $2\pi$.
3. Cea mai mică translație pozitivă rezultă din $3T=2\pi$, deci $T=2\pi /3$.
4. Într-adevăr, $f(x+2\pi /3)=\cos (3x+2\pi )=f(x)$ pentru orice argument real.

Exemplu rezolvat 4. Studiem $s(x)=\sin x+\sin 2x$.

1. Funcția $\sin x$ are perioada $2\pi$, iar $\sin 2x$ are perioada principală $\pi$. Numărul $2\pi$ este multiplu al ambelor, deci $s(x+2\pi )=s(x)$.
2. $s$ este impară, ca sumă de funcții impare.
3. O perioadă $T\in (0;2\pi )$ ar da $s(T)=s(0)=0$, adică $\sin T(1+2\cos T)=0$, deci $T\in \left\{\frac{2\pi }{3};\pi ;\frac{4\pi }{3}\right\}$.
4. Niciunul nu convine, deoarece $s\left(\frac{\pi }{2}\right)=1$, dar $s\left(\frac{\pi }{2}+\frac{2\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$, $s\left(\frac{\pi }{2}+\pi \right)=-1$ și $s\left(\frac{\pi }{2}+\frac{4\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}+1}{2}$. Perioada principală este $2\pi$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $\sin (2x)$ are perioada principală $2\pi$.
  Corect: $2\pi$ este o perioadă, dar cea principală este $\pi$.
• Greșit: $x^2$ restrâns la $[0;2]$ este funcție pară.
  Corect: domeniul nu este simetric față de zero.
• Greșit: pentru $f(x)=x^3-x$ avem $f(1)=f(-1)=0$, deci $f$ este pară.
  Corect: egalitatea $f(-x)=f(x)$ trebuie să aibă loc pentru orice $x$; aici $f(2)=6$, iar $f(-2)=-6$, deci $f$ este impară.
• Greșit: orice funcție impară trece prin origine.
  Corect: graficul trece prin origine numai dacă $0$ aparține domeniului; funcția $f(x)=\frac{1}{x}$ este impară și nu este definită în $0$.
• Greșit: $\sin \frac{x}{2}$ are perioada principală $\pi$.
  Corect: perioada principală este $\frac{2\pi }{1/2}=4\pi$.

Înainte și după