Funcția de gradul al doilea — introducere

O funcție de gradul al doilea are forma $f(x)=a{x}^2+bx+c$, cu $a\ne 0$. Domeniul uzual este $\mathbb{R}$, iar graficul este o parabolă. Valori diferite ale argumentului pot avea aceeași valoare a funcției: pentru $f(x)=x^2$, avem $f(-2)=f(2)=4$. Aceasta nu încalcă definiția funcției, deoarece fiecărui argument îi corespunde o singură valoare.

Coeficientul $a$ hotărăște orientarea parabolei: ramurile sunt în sus pentru $a>0$ și în jos pentru $a<0$. Rădăcinile ecuației $f(x)=0$ sunt abscisele intersecțiilor cu axa $Ox$, dacă există. Lecțiile „Graficul funcției de gradul al doilea”, „Semnul funcției de gradul al doilea” și „Monotonia funcției de gradul al doilea” dezvoltă separat aceste proprietăți.

De exemplu, $x^2-4=0$ are soluțiile $-2$ și $2$, deci graficul lui $f(x)=x^2-4$ întâlnește axa orizontală în $(-2;0)$ și $(2;0)$. Înlocuirea soluțiilor în formulă verifică aceste puncte. Valoarea $f(0)=-4$ arată unde graficul întâlnește axa verticală.

Exemplu rezolvat. Pentru $f(x)=x^2-4$, calculează $f(-2)$, $f(0)$ și $f(2)$.

1. $f(-2)=4-4=0$.
2. $f(0)=0-4=-4$.
3. $f(2)=4-4=0$.

Valorile arată două zerouri și o valoare negativă între ele.

Formele funcției. Forma generală $f(x)=a{x}^2+bx+c$ are coeficienții $a\ne 0$, $b$ și $c$, iar $c=f(0)$ este ordonata punctului în care graficul taie $Oy$. Dacă $b=0$, avem $f(-x)=f(x)$, deci funcția este pară și graficul este simetric față de $Oy$. Completând pătratul se obține forma canonică

Din ea se citesc elementele parabolei: axa de simetrie $x=-\frac{b}{2a}$ și vârful $V\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$. Pentru $a>0$ valoarea $-\frac{\Delta }{4a}$ este minimul funcției, iar mulțimea valorilor este $\left[-\frac{\Delta }{4a};+\infty \right)$; pentru $a<0$ aceeași valoare este maximul, iar mulțimea valorilor este $\left(-\infty ;-\frac{\Delta }{4a}\right]$. Ordonata vârfului aparține mulțimii valorilor, fiind atinsă pentru abscisa axei de simetrie. Pentru $f(x)=a{x}^2$ vârful este originea, iar la $x=1$ funcția ia valoarea $a$: cu cât $|a|$ este mai mare, cu atât parabola este mai îngustă. Graficul lui $a(x-h{)}^2+k$ se obține din cel al lui $a{x}^2$ mutând vârful în punctul $(h;k)$.

Zerourile. Discriminantul hotărăște numărul intersecțiilor cu $Ox$: două pentru $\Delta >0$, una (parabola este tangentă axei) pentru $\Delta =0$, niciuna pentru $\Delta <0$. Când $\Delta \ge 0$, funcția se scrie $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$, iar rădăcinile verifică $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ și $x_1{x}_2=\frac{c}{a}$ (vezi lecția Relațiile lui Viète). De aici, abscisa vârfului este $\frac{x_1+x_2}{2}$: vârful se află la mijlocul distanței dintre rădăcini.

Exemplu rezolvat 1. Pentru $f(x)=2x^2-8x+6$, completăm pătratul: $f(x)=2(x-2{)}^2-2$. Vârful este $V(2;-2)$, axa $x=2$, iar minimul este $-2$. Ecuația $f(x)=0$ devine $(x-2{)}^2=1$, deci rădăcinile sunt $1$ și $3$; parabola intersectează $Ox$ în $(1;0)$ și $(3;0)$.

Exemplu rezolvat 2. Aflăm funcția de gradul al doilea cu zerourile $1$ și $5$ și cu $f(0)=10$.

1. Scriem $f(x)=a(x-1)(x-5)$.
2. Din $f(0)=5a=10$ rezultă $a=2$, deci $f(x)=2x^2-12x+10$.
3. Vârful are abscisa $\frac{1+5}{2}=3$ și ordonata $f(3)=-8$. Verificare cu formula: $\Delta =144-80=64$ și $-\frac{64}{8}=-8$.

Exemplu rezolvat 3. Mulțimea valorilor lui $f(x)=-x^2+4x+1$:

1. $a=-1<0$, deci funcția are maxim.
2. $f(x)=-(x-2{)}^2+5$, deci maximul este $5$, atins pentru $x=2$.
3. Mulțimea valorilor este $(-\infty ;5]$. Verificare: $-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{20}{-4}=5$.

Exemplu rezolvat 4. Aflăm funcția $f(x)=a{x}^2+bx+c$ al cărei grafic trece prin $A(0;1)$, $B(1;0)$ și $C(2;3)$.

1. Din $f(0)=1$ rezultă $c=1$.
2. Din $f(1)=0$ rezultă $a+b+1=0$, iar din $f(2)=3$ rezultă $4a+2b+1=3$, adică $2a+b=1$.
3. Scăzând prima relație din a doua, $a=2$; atunci $b=-3$. Funcția este $f(x)=2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1)$, cu zerourile $\frac{1}{2}$ și $1$.

Exemplu rezolvat 5. Un teren dreptunghiular are perimetrul $20$ m. Dacă o latură este $x$, cealaltă este $10-x$, iar aria este $A(x)=x(10-x)=-x^2+10x$, cu $x\in (0;10)$. Coeficientul principal este negativ, deci $A$ are maxim în vârf, la $x=-\frac{10}{-2}=5$, unde $A(5)=25$ m². Dreptunghiul de arie maximă este pătratul cu latura de $5$ m.

Forma potrivită se alege după datele problemei: forma canonică pentru extrem și mulțimea valorilor, forma cu rădăcinile $a(x-x_1)(x-x_2)$ când se cunosc zerourile, forma generală când se dau coeficienții. Lecțiile următoare tratează separat graficul, semnul și monotonia, fără a amesteca procedurile.

La admitere, funcția de gradul al doilea apare cu parametri: condițiile asupra lui $\Delta$ și a lui $a$ dau mulțimea valorilor parametrului. Un trinom cu coeficientul principal pozitiv este nenegativ pe toată $\mathbb{R}$ dacă și numai dacă $\Delta \le 0$; echivalent, minimul $-\frac{\Delta }{4a}$ este cel puțin zero. Dacă și coeficientul lui $x^2$ depinde de parametru, se tratează separat cazul în care el devine zero, fiindcă atunci funcția nu mai este de gradul al doilea.

Problemă rezolvată. Mulțimea valorilor lui $m$ pentru care $x^2+mx+9\ge 0$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$ este:

a) $(-6;6)$ b) $[-6;6]$ c) $(-\infty ;-6]\cup [6;+\infty )$ d) $[-3;3]$ e) $(-\infty ;6]$ f) $\mathbb{R}$

1. Coeficientul principal este $1>0$, deci condiția este $\Delta \le 0$.
2. $\Delta =m^2-36\le 0$ dă $m^2\le 36$, adică $m\in [-6;6]$.
3. Același rezultat din minim: $\min f=-\frac{\Delta }{4a}=9-\frac{m^2}{4}\ge 0$. La capete parabola atinge axa într-un singur punct, ceea ce convine, fiindcă inegalitatea este nestrictă.
4. Verificare numerică: pentru $m=5,9$ minimul este $9-8,7025=0,2975\ge 0$, iar pentru $m=6,1$ minimul este $9-9,3025=-0,3025<0$.

Răspuns corect: b). Variantele greșite: a) cere $\Delta <0$, deși inegalitatea nestrictă admite $\Delta =0$; c) inversează sensul inegalității $m^2\le 36$; d) uită factorul $4$ din $4ac$ și obține $\Delta =m^2-9$; e) reține numai $m\le 6$ din $m^2\le 36$; f) crede că $a>0$ ajunge, fără condiția pe $\Delta$.

Un alt tip frecvent: parabola $y=x^2-4x+m$ este tangentă axei $Ox$ dacă și numai dacă $\Delta =16-4m=0$, adică $m=4$. Vârful parabolei $y=x^2+(m-2)x+1$ se află pe axa $Oy$ dacă și numai dacă $x_V=-\frac{m-2}{2}=0$, adică $m=2$; pentru acest $m$ funcția este $x^2+1$, cu vârful $(0;1)$.

Greșeli frecvente

• Greșit: din $f(-2)=f(2)=4$ se concluzionează că $f(x)=x^2$ nu este funcție.
  Corect: fiecărui argument îi revine o singură valoare, chiar dacă două argumente au aceeași imagine.
• Greșit: $a=0$ păstrează gradul al doilea.
  Corect: fără termenul $x^2$, gradul scade.
• Greșit: pentru $f(x)=x^2-4$, se consideră $f(0)=-4$ drept zero al funcției.
  Corect: zerourile sunt valorile lui $x$ pentru care $f(x)=0$, aici $-2$ și $2$.
• Greșit: ordonata vârfului este $-\frac{b}{2a}$.
  Corect: $-\frac{b}{2a}$ este abscisa vârfului; ordonata este $-\frac{\Delta }{4a}$, adică $f\left(-\frac{b}{2a}\right)$.
• Greșit: dacă $\Delta <0$, funcția cu $a>0$ nu are minim.
  Corect: minimul există și este $-\frac{\Delta }{4a}>0$; lipsesc numai zerourile reale, iar graficul rămâne deasupra axei $Ox$.

Înainte și după

Întrebări frecvente