Sistemul de coordonate carteziene

Într-un sistem de coordonate, două axe perpendiculare se întâlnesc în punctul $O(0;0)$, numit origine. Axa orizontală este $Ox$, iar cea verticală $Oy$. Un punct se scrie ca pereche $(x;y)$: prima coordonată arată deplasarea pe orizontală, a doua pe verticală. Pentru $A(3;2)$ mergi trei unități la dreapta și două în sus.

Numerele pozitive sunt la dreapta și în sus; cele negative, la stânga și în jos. Punctul $B(-2;1)$ se găsește două unități la stânga și una în sus. Ordinea coordonatelor contează: $(2;3)$ și $(3;2)$ sunt puncte diferite; $(a;b)$ și $(b;a)$ coincid dacă și numai dacă $a=b$. Dacă $x=0$, punctul este pe axa $Oy$; dacă $y=0$, este pe axa $Ox$.

Planul este împărțit în patru cadrane. În primul, ambele coordonate sunt pozitive; în al doilea, $x$ este negativ și $y$ pozitiv; în al treilea, ambele sunt negative; în al patrulea, $x$ este pozitiv și $y$ negativ. Punctele de pe axe nu sunt în niciun cadran. Folosește aceeași scară pe fiecare axă când citești sau marchezi punctele.

Distanța la axe. Punctul $A(3;-2)$ se află la $2$ unități de axa $Ox$ și la $3$ unități de axa $Oy$: distanța la $Ox$ este $|y|$, iar distanța la $Oy$ este $|x|$. Distanțele nu pot fi negative, chiar dacă o coordonată este negativă.

Citirea unui grafic. Un punct $(a;b)$ aparține graficului unei funcții $f$ dacă $b=f(a)$. Graficul taie axa $Oy$ în punctul de abscisă $0$, adică în $(0;f(0))$, și taie axa $Ox$ în punctele de ordonată $0$, adică pentru valorile lui $x$ care verifică $f(x)=0$.

Exemplu rezolvat. Marchează $C(-3;-2)$ și spune în ce cadran este.

1. De la origine mergem trei unități la stânga.
2. Coborâm două unități.
3. Ambele coordonate sunt negative, deci $C$ este în cadranul al III-lea.

Verificăm ordinea: prima deplasare a fost pe $Ox$.

Exemplu rezolvat. Pentru funcția $f(x)=2x-1$, completează un tabel și citește graficul.

1. $f(-1)=-3$, $f(0)=-1$, $f(1)=1$, $f(2)=3$, deci punctele $(-1;-3)$, $(0;-1)$, $(1;1)$ și $(2;3)$ sunt pe grafic și se așază pe o dreaptă.
2. Intersecția cu $Oy$ este $(0;-1)$.
3. Intersecția cu $Ox$ se obține din $2x-1=0$, adică $x=\frac{1}{2}$; punctul este $\left(\frac{1}{2};0\right)$.

Punctul $(3;5)$ aparține graficului, fiindcă $f(3)=5$; punctul $(3;4)$ nu aparține.

Reperul cartezian. Un reper cartezian ortonormat are două axe perpendiculare, cu aceeași unitate de măsură, care se taie în originea $O$. Fiecărui punct al planului îi corespunde exact o pereche de numere reale $(x;y)$, iar fiecărei perechi îi corespunde exact un punct. Punctele cu aceeași abscisă $a$ se află pe dreapta verticală $x=a$, iar cele cu aceeași ordonată $b$ pe dreapta orizontală $y=b$. Punctele de forma $(a;a)$ sunt pe bisectoarea cadranelor I și III, adică pe dreapta $y=x$; punctele de forma $(a;-a)$ sunt pe bisectoarea cadranelor II și IV, adică pe $y=-x$.

Simetrii. Simetricul punctului $A(a;b)$ față de axa $Ox$ este $(a;-b)$; față de axa $Oy$ este $(-a;b)$; față de origine este $(-a;-b)$; față de dreapta $y=x$ este $(b;a)$.

Lungimi. Pentru două puncte distanța este $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$, de exemplu pentru $A(1;2)$ și $B(4;6)$ avem $AB=\sqrt{9+16}=5$. Mijlocul segmentului $AB$ are coordonatele $M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$; pentru $A(-2;3)$ și $B(4;-1)$ obținem $M(1;1)$. Pe larg le tratează lecțiile Distanța dintre două puncte și Mijlocul unui segment.

Graficul unei funcții. Graficul lui $f:D\to \mathbb{R}$ este mulțimea $G_f=\{(x;f(x))\mid x\in D\}$. Punctul $(a;b)$ aparține lui $G_f$ dacă și numai dacă $a\in D$ și $f(a)=b$. O dreaptă verticală $x=a$ intersectează graficul în cel mult un punct, deoarece unei valori $a$ îi corespunde o singură valoare $f(a)$; de aceea o curbă care este tăiată de o dreaptă verticală în două puncte nu este graficul unei funcții. O dreaptă orizontală $y=b$ intersectează graficul în punctele ale căror abscise sunt soluțiile ecuației $f(x)=b$. Intersecția cu $Oy$ este deci cel mult un punct, iar cele cu $Ox$ corespund ecuației $f(x)=0$.

Exemplu rezolvat 1. Fie $A(3;-2)$. Aflăm simetricele lui și cadranele lor.

1. Față de $Ox$: $(3;2)$, în cadranul I.
2. Față de $Oy$: $(-3;-2)$, în cadranul III.
3. Față de origine: $(-3;2)$, în cadranul II.
4. Față de $y=x$: $(-2;3)$, tot în cadranul II. Punctul inițial $A$ este în cadranul IV.

Exemplu rezolvat 2. Punctele $A(-1;0)$, $B(3;1)$ și $C(4;4)$ sunt trei vârfuri consecutive ale paralelogramului $ABCD$. Aflăm $D$.

1. Diagonalele unui paralelogram au același mijloc. Mijlocul lui $AC$ este $M\left(\frac{3}{2};2\right)$.
2. $M$ este și mijlocul lui $BD$, deci $x_D=2\cdot \frac{3}{2}-3=0$ și $y_D=2\cdot 2-1=3$.
3. Rezultă $D(0;3)$. Verificare: $\overrightarrow{AB}=(4;1)=\overrightarrow{DC}$, iar $AB=CD=\sqrt{17}$.

Exemplu rezolvat 3. Fie $f(x)=x^2-3x+2$. Verificăm dacă $P(3;2)$ și $Q(-1;5)$ sunt pe grafic și aflăm intersecțiile cu axele.

1. $f(3)=9-9+2=2$, deci $P$ aparține graficului.
2. $f(-1)=1+3+2=6\ne 5$, deci $Q$ nu aparține graficului.
3. Cu $Oy$: $(0;2)$. Cu $Ox$: $x^2-3x+2=0$ dă $x=1$ sau $x=2$, deci $(1;0)$ și $(2;0)$.

Exemplu rezolvat 4. Calculăm aria triunghiului cu vârfurile $A(1;1)$, $B(5;1)$ și $C(5;4)$.

1. $A$ și $B$ au aceeași ordonată, deci $AB$ este orizontal și $AB=|5-1|=4$.
2. $B$ și $C$ au aceeași abscisă, deci $BC$ este vertical și $BC=|4-1|=3$.
3. Unghiul din $B$ este drept, iar aria este $\frac{4\cdot 3}{2}=6$ unități pătrate. Formula distanței dă și $AC=\sqrt{16+9}=5$.

Formulele cu coordonate sunt valabile numai într-un reper ortonormat; dacă axele ar avea unități diferite, lungimile calculate nu ar mai coincide cu cele măsurate pe desen.

Greșeli frecvente

• Greșit: pentru $A(3;2)$ se merg mai întâi două unități în sus.
  Corect: prima coordonată este orizontală; se merg întâi trei unități la dreapta.
• Greșit: un punct de pe axă aparține unui cadran.
  Corect: cadranele exclud axele.
• Greșit: $(2;3)$ și $(3;2)$ reprezintă același punct.
  Corect: ordinea coordonatelor schimbă poziția.
• Greșit: simetricul lui $(3;-2)$ față de axa $Ox$ este $(-3;2)$.
  Corect: față de $Ox$ se schimbă numai semnul ordonatei, deci simetricul este $(3;2)$; punctul $(-3;2)$ este simetricul față de origine.
• Greșit: distanța de la $A(3;-2)$ la axa $Ox$ este $-2$.
  Corect: distanța este $|-2|=2$.

Înainte și după