Operații cu funcții

Funcțiile numerice se adună, se scad, se înmulțesc și se împart valoare cu valoare: $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$, $(f-g)(x)=f(x)-g(x)$, $(fg)(x)=f(x)g(x)$ și $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$. Rezultatul este definit în punctele în care sunt definite ambele funcții, adică pe $D_f\cap D_g$; la cât se exclud în plus punctele în care $g(x)=0$. Înmulțirea cu un număr $\lambda$ se face valoare cu valoare: $(\lambda f)(x)=\lambda f(x)$. Funcțiile date prin tabel se combină la fel: dacă $f(1)=3$ și $g(1)=5$, atunci $(f+g)(1)=8$ și $(fg)(1)=15$.

Exemplu rezolvat. Fie $f(x)=x+1$ și $g(x)=x-2$, definite pe $\mathbb{R}$.

1. Suma este $(f+g)(x)=2x-1$, iar produsul este $(fg)(x)=x^2-x-2$, ambele pe $\mathbb{R}$.
2. Câtul este $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{x+1}{x-2}$ și cere $g(x)\ne 0$, adică $x\ne 2$; domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
3. La $x=3$: $(f+g)(3)=5$, $(fg)(3)=4$ și $\left(\frac{f}{g}\right)(3)=4$.

Fie $f:D_f\to \mathbb{R}$ și $g:D_g\to \mathbb{R}$. Suma, diferența și produsul sunt definite pe $D_f\cap D_g$, iar câtul pe $\{x\in D_f\cap D_g\mid g(x)\ne 0\}$. Funcția $\lambda f$ are domeniul $D_f$, inclusiv pentru $\lambda =0$, când este funcția nulă pe $D_f$. Puterea $f^n$ este produsul a $n$ factori egali cu $f$, pe $D_f$. Adunarea și înmulțirea sunt comutative și asociative, iar distributivitatea $f(g+h)=fg+fh$ are loc pe $D_f\cap D_g\cap D_h$. Pe grafic, graficul lui $f+g$ se obține adunând ordonatele graficelor celor două funcții, în fiecare abscisă comună.

Operațiile cu funcții afine dau rezultate cunoscute: suma a două funcții afine $f(x)=ax+b$ și $g(x)=cx+d$ este tot afină, $(f+g)(x)=(a+c)x+(b+d)$, iar produsul lor este o funcție de gradul al doilea, $(fg)(x)=ac{x}^2+(ad+bc)x+bd$, dacă $ac\ne 0$. Diferența $f-f$ este funcția nulă pe $D_f$, dar câtul $\frac{f}{f}$ este funcția constantă $1$ numai pe $\{x\in D_f\mid f(x)\ne 0\}$: pentru $f(x)=x$, domeniul lui $\frac{f}{f}$ este $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

Diferența $f-g$ leagă operațiile de grafice: zerourile ei sunt abscisele punctelor comune ale graficelor lui $f$ și $g$, iar $(f-g)(x)>0$ înseamnă că graficul lui $f$ este deasupra celui al lui $g$ în abscisa $x$. Suma a două funcții crescătoare este crescătoare, iar diferența a două funcții crescătoare nu are un sens de variație stabilit în general; detaliile sunt în lecția Monotonia funcțiilor.

Domeniul unei operații se stabilește din formulele inițiale, înainte de simplificare. O formulă simplificată poate fi definită în puncte în care operația nu este. Egalitățile $(fg)(x)=0$ și $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=0$ se rezolvă diferit: produsul se anulează dacă și numai dacă $f(x)=0$ sau $g(x)=0$, iar câtul dacă și numai dacă $f(x)=0$ și $g(x)\ne 0$, cu $x$ în domeniul operației.

Exemplu rezolvat 1. Fie $f(x)=\sqrt{x+1}$ și $g(x)=\frac{1}{x-3}$. Află domeniile și câteva valori.

1. $D_f=[-1;+\infty )$ și $D_g=\mathbb{R}\setminus \{3\}$, deci $f+g$ și $fg$ au domeniul $[-1;3)\cup (3;+\infty )$.
2. $g(x)$ nu se anulează niciodată, deci $\frac{f}{g}$ are același domeniu. Formula simplificată $(x-3)\sqrt{x+1}$ ar da $0$ la $x=3$, dar $\frac{f}{g}$ nu este definit acolo, pentru că $g(3)$ nu există.
3. $(f+g)(0)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ și $(fg)(8)=3\cdot \frac{1}{5}=\frac{3}{5}$.

Exemplu rezolvat 2. Fie $f(x)=x^2-4$ și $g(x)=x-2$ pe $\mathbb{R}$. Rezolvă $(fg)(x)=0$ și $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=0$.

1. $(fg)(x)=(x-2)(x^2-4)$, deci $(fg)(x)=0$ pentru $x=2$ sau $x=\pm 2$. Mulțimea soluțiilor este $\{-2;2\}$.
2. Câtul cere $x\ne 2$ și, pentru $x\ne 2$, devine $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$.
3. Din $x+2=0$ rezultă $x=-2$, care este în domeniu, iar $x=2$ este exclus. Soluția este $x=-2$.

Exemplu rezolvat 3. Pentru $f(x)=2x$ și $g(x)=3-x$, funcția $2f-3g$ are valorile $2\cdot 2x-3(3-x)=4x-9+3x=7x-9$. La $x=2$ obținem $5$, iar direct $2f(2)-3g(2)=8-3=5$.

Exemplu rezolvat 4. Pentru $f(x)=2x+1$ și $g(x)=3x-6$:

1. $(f+g)(x)=5x-5$, funcție afină.
2. $(fg)(x)=(2x+1)(3x-6)=6x^2-12x+3x-6=6x^2-9x-6$.
3. $\frac{f}{g}$ cere $3x-6\ne 0$, deci domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{2\}$, iar $\left(\frac{f}{g}\right)(0)=\frac{1}{-6}=-\frac{1}{6}$.

Compunerea nu este o operație de acest tip: $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ are o lecție proprie, Compunerea funcțiilor.

Problemele cer domeniul unei funcții obținute prin operații sau soluțiile unor ecuații cu cât. Se scriu întâi condițiile fiecărei funcții și abia apoi se simplifică.

Problema 1. Fie $f(x)=\sqrt{4-x}$ și $g(x)=x^2-1$. Domeniul maxim al funcției $\frac{f}{g}$ este:

a) $(-\infty ;4]$ b) $(-\infty ;4)\setminus \{-1;1\}$ c) $(-\infty ;4]\setminus \{1\}$ d) $(-\infty ;4]\setminus \{-1;1\}$ e) $\mathbb{R}\setminus \{-1;1\}$ f) $(-\infty ;4]\setminus \{-1\}$

1. Radicalul cere $4-x\ge 0$, deci $x\le 4$.
2. Numitorul cere $g(x)\ne 0$, adică $x^2\ne 1$, deci $x\ne -1$ și $x\ne 1$.
3. Domeniul este $(-\infty ;4]\setminus \{-1;1\}$.

Răspuns corect: d). Variantele greșite: a) uită numitorul; b) exclude și $4$, ca și cum radicalul ar cere $4-x>0$; c) și f) elimină doar una dintre rădăcinile numitorului; e) uită radicalul.

Problema 2. Rezolvăm $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=4$ pentru $f(x)=x^2-4$ și $g(x)=x-2$. Domeniul exclude $2$. Pentru $x\ne 2$, câtul este $x+2$, iar $x+2=4$ dă $x=2$, valoare exclusă. Ecuația nu are soluții, deși ecuația $x+2=4$ are soluția $2$. Simplificarea schimbă domeniul, iar domeniul fracției inițiale hotărăște.

Problema 3. Pentru $f(x)=\sqrt{x-2}$ și $g(x)=\sqrt{6-x}$, produsul $fg$ este definit când $x-2\ge 0$ și $6-x\ge 0$, adică $x\ge 2$ și $x\le 6$. Domeniul este $[2;6]$. Pentru $u(x)=\sqrt{x-2}$ și $v(x)=\sqrt{x-6}$, produsul $uv$ cere $x\ge 2$ și $x\ge 6$, deci are domeniul $[6;+\infty )$. Funcția $\sqrt{(x-2)(x-6)}$ are alt domeniu, $(-\infty ;2]\cup [6;+\infty )$, pentru că produsul de sub radical este nenegativ și când ambii factori sunt negativi. Regula sigură este să se scrie condiția fiecărui radical în parte.

Problema 4. Fie $f(x)=x^2-x$ și $g(x)=x-1$. Calculează $\left(\frac{f}{g}\right)(3)+(fg)(3)$. Avem $f(3)=6$ și $g(3)=2$, deci $\left(\frac{f}{g}\right)(3)=3$ și $(fg)(3)=12$. Suma este $15$. Valoarea $3$ aparține domeniului câtului, fiindcă $g(3)=2\ne 0$; formula simplificată $\frac{f}{g}=x$ pentru $x\ne 1$ dă același $3$.

Greșeli frecvente

• Greșit: suma lui $\sqrt{x}$ și $\frac{1}{x-1}$ este definită la $x=-1$, deoarece a doua funcție există acolo.
  Corect: ambele trebuie să existe, deci $x\ge 0$ și $x\ne 1$.
• Greșit: pentru $f(x)=x+1$ și $g(x)=2x$, produsul este $2x+1$.
  Corect: produsul este $2x(x+1)$; expresia $2x+1$ este $f(g(x))$, din compunere.
• Greșit: $\frac{x^2-4}{x-2}=x+2$ pentru orice $x$, deci funcția este definită și la $x=2$.
  Corect: egalitatea are loc numai pentru $x\ne 2$.
• Greșit: $\left(\frac{f}{g}\right)(x)=0$ pentru orice $x$ cu $f(x)=0$.
  Corect: trebuie și $g(x)\ne 0$; pentru $f(x)=x^2-4$ și $g(x)=x-2$, valoarea $x=2$ anulează numărătorul, dar anulează și numitorul.

Înainte și după