Graficul unei funcții

Graficul unei funcții $f:A\to B$ este mulțimea punctelor $(x;f(x))$, cu $x\in A$. Prima coordonată, abscisa, se citește pe axa orizontală $Ox$, iar a doua, ordonata, pe axa verticală $Oy$. Un punct $(a;b)$ aparține graficului dacă și numai dacă $b=f(a)$. De aceea punctele $(a;b)$ și $(b;a)$ sunt diferite când $a\ne b$.

Graficul se construiește cu un tabel de valori: alegi argumente din domeniu, calculezi $f(x)$ și marchezi punctele. Pentru $f(x)=x^2$ pe $[-2;2]$, argumentele $-2;-1;0;1;2$ dau valorile $4;1;0;1;4$. Dacă domeniul este finit, de exemplu $\{0;1;2\}$, graficul are doar trei puncte și ele nu se unesc, fiindcă valorile dintre ele nu sunt în domeniu. Dacă domeniul este un interval, iar funcția este dată printr-o formulă ca cele din gimnaziu, punctele formează o linie fără întreruperi, pe care o desenezi fără să ridici creionul.

Din grafic citești:

• valoarea $f(a)$: pornești de la abscisa $a$ pe $Ox$ până la grafic, apoi citești ordonata;
• intersecția cu $Oy$: punctul $(0;f(0))$, dacă $0$ aparține domeniului;
• intersecțiile cu $Ox$: punctele $(x;0)$ pentru care $f(x)=0$;
• soluțiile ecuației $f(x)=c$: abscisele punctelor în care dreapta orizontală $y=c$ taie graficul.

O dreaptă verticală $x=a$, cu $a\in A$, taie graficul într-un singur punct, fiindcă argumentul $a$ are o singură valoare. Dacă două funcții au graficele $G_f$ și $G_g$, abscisele punctelor comune sunt soluțiile ecuației $f(x)=g(x)$; ordonata se calculează apoi în oricare dintre formule.

Exemplu rezolvat 1. Pentru $f(x)=2x-3$, stabilește care dintre punctele $A(1;-1)$, $B(2;2)$, $C(0;3)$, $D(3;3)$ aparțin graficului.

1. $f(1)=2\cdot 1-3=-1$, deci $A$ aparține graficului.
2. $f(2)=1\ne 2$, deci $B$ nu aparține. De asemenea $f(0)=-3\ne 3$, deci $C$ nu aparține.
3. $f(3)=3$, deci $D$ aparține graficului.

Exemplu rezolvat 2. Află intersecțiile graficului lui $f(x)=2x-3$ cu axele și cu graficul lui $g(x)=-x+3$.

1. Cu $Oy$: $f(0)=-3$, deci punctul $(0;-3)$.
2. Cu $Ox$: $2x-3=0$ dă $x=\frac{3}{2}$, deci punctul $\left(\frac{3}{2};0\right)$.
3. Cu graficul lui $g$: $2x-3=-x+3$ dă $3x=6$, deci $x=2$. Ordonata este $f(2)=1$, iar punctul comun este $(2;1)$.

Despre alegerea axelor și a punctelor din plan este lecția Sistemul de coordonate carteziene.

Graficul funcției $f:D\to \mathbb{R}$ este mulțimea $G_f=\{(x;f(x))\mid x\in D\}$. Proiecția lui pe $Ox$ este domeniul $D$, iar proiecția pe $Oy$ este imaginea $\mathrm{Im}f$. O mulțime de puncte este graficul unei funcții dacă și numai dacă nicio dreaptă verticală nu o taie în mai mult de un punct. Cercul $x^2+y^2=1$ nu este un grafic: la abscisa $0$ are punctele $(0;1)$ și $(0;-1)$.

Informațiile se citesc astfel. Graficul taie axa $Oy$ dacă și numai dacă $0\in D$, în punctul $(0;f(0))$. Punctele de pe $Ox$ au abscisele soluțiile ecuației $f(x)=0$. Numărul soluțiilor ecuației $f(x)=c$ este numărul punctelor de intersecție cu dreapta $y=c$. Semnul lui $f$ se vede din poziția față de $Ox$: $f(x)>0$ unde graficul este deasupra axei. Funcția este mărginită dacă există $m$ și $M$ cu $m\le f(x)\le M$ pentru orice $x\in D$, adică graficul stă între două drepte orizontale. Inecuația $f(x)<g(x)$ se rezolvă luând abscisele în care graficul lui $f$ este sub cel al lui $g$. Graficul restricției $f{|}_E$ este partea graficului lui $f$ aflată deasupra mulțimii $E$. Graficul funcției $f(x)+k$ se obține deplasând graficul lui $f$ cu $|k|$ unități pe verticală, în sus pentru $k>0$ și în jos pentru $k<0$: punctul $(2;4)$ al lui $x^2$ devine $(2;5)$ pe graficul lui $x^2+1$.

Exemplu rezolvat 1. Pentru $f(x)=x^2-4$ și $g(x)=x-2$, rezolvă grafic $f(x)=g(x)$ și $f(x)<g(x)$.

1. Egalitatea $x^2-4=x-2$ devine $x^2-x-2=0$, cu soluțiile $x=-1$ și $x=2$.
2. Punctele comune sunt $(-1;-3)$ și $(2;0)$.
3. Între cele două abscise graficul lui $f$ este sub cel al lui $g$: la $x=0$, $f(0)=-4<-2=g(0)$. Deci $f(x)<g(x)$ pentru $x\in (-1;2)$.

Exemplu rezolvat 2. Fie $f(x)=|x-1|$ și dreapta $y=m$.

1. Cu $Oy$: $f(0)=1$, punctul $(0;1)$. Cu $Ox$: $|x-1|=0$ dă $x=1$, punctul $(1;0)$.
2. Pentru $m=2$: $|x-1|=2$ dă $x=-1$ sau $x=3$, deci două puncte comune.
3. Valorile funcției sunt nenegative, deci pentru $m<0$ nu există puncte comune, pentru $m=0$ există unul, iar pentru $m>0$ există două.

Exemplu rezolvat 3. Pentru ce valori ale parametrului $m$ au graficele lui $f(x)=x^2$ și $g(x)=x+m$ două puncte comune, unul sau niciunul?

1. Punctele comune au abscisele soluțiile ecuației $x^2=x+m$, adică $x^2-x-m=0$, cu discriminantul $\Delta =1+4m$.
2. Pentru $m>-\frac{1}{4}$ avem $\Delta >0$, deci două puncte comune. Pentru $m<-\frac{1}{4}$ avem $\Delta <0$, deci niciunul.
3. Pentru $m=-\frac{1}{4}$, ecuația este ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2=0$, cu o singură soluție, $x=\frac{1}{2}$. Dreapta atinge parabola în $\left(\frac{1}{2};\frac{1}{4}\right)$.

Proprietățile care se văd direct pe grafic, cum sunt simetria față de $Oy$ sau repetarea periodică a valorilor, au lecția Paritate și periodicitate, iar creșterea și descreșterea au lecția Monotonia funcțiilor.

Exemplu rezolvat 4. Mulțimea $\{(-1;3);(0;1);(2;1);(3;-2)\}$ este graficul unei funcții, fiindcă abscisele sunt distincte. Domeniul este $\{-1;0;2;3\}$, iar imaginea $\{-2;1;3\}$. Adăugând punctul $(2;5)$, argumentul $2$ ar avea valorile $1$ și $5$, iar mulțimea nu ar mai fi un grafic.

Problemele cu grafice cer coordonatele punctelor de intersecție cu axele și cu alte grafice. Intersecția cu $Oy$ se află din $x=0$, iar cele cu $Ox$ din $f(x)=0$.

Problema 1. Dreapta $y=3x-6$ și axele de coordonate delimitează un triunghi. Aria lui este:

a) $3$ b) $6$ c) $9$ d) $12$ e) $18$ f) $36$

1. Intersecția cu $Oy$: $x=0$ dă $y=-6$, punctul $(0;-6)$.
2. Intersecția cu $Ox$: $3x-6=0$ dă $x=2$, punctul $(2;0)$.
3. Triunghiul este dreptunghic, cu catetele $2$ și $6$, deci aria este $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 6=6$.

Răspuns corect: b). Variantele greșite: a) $3=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3$, cu panta luată drept ordonată la origine; c) $9=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6$, cu panta luată drept abscisă; d) $12=2\cdot 6$, fără factorul $\frac{1}{2}$; e) $18=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6$, cu zeroul funcției luat $6$ în loc de $2$; f) $36=6\cdot 6$, aceeași eroare fără factorul $\frac{1}{2}$.

Problema 2. Graficele funcțiilor $y=|x|$ și $y=x+2$ au un singur punct comun. Pentru $x\ge 0$, egalitatea $x=x+2$ este imposibilă. Pentru $x<0$, $|x|=-x$, deci $-x=x+2$ și $x=-1$, valoare care verifică $x<0$. Punctul comun este $(-1;1)$, iar la verificare $|-1|=1=-1+2$.

Problema 3. Pentru ce valoare a lui $m$ aparține punctul $A(m;m+1)$ graficului funcției $f(x)=2x-5$? Condiția $f(m)=m+1$ dă $2m-5=m+1$, deci $m=6$. Punctul este $A(6;7)$, iar $f(6)=7$, ca în enunț. Greșeala frecventă este să se egaleze $m$ cu $m+1$ sau să se schimbe între ele coordonatele punctului.

Greșeli frecvente

• Greșit: punctul $(1;4)$ aparține graficului lui $f(x)=x+2$, pentru că $1$ este în domeniu.
  Corect: $f(1)=3$, deci punctul de pe grafic este $(1;3)$.
• Greșit: punctele unei funcții cu domeniu finit se unesc printr-o linie.
  Corect: graficul conține numai punctele cu abscisa în domeniu.
• Greșit: intersecția cu $Ox$ se află din $x=0$.
  Corect: se rezolvă $f(x)=0$; din $x=0$ se află intersecția cu $Oy$.
• Greșit: ecuația $f(x)=c$ are exact o soluție, pentru că $f$ este funcție.
  Corect: pentru $f(x)=|x-1|$ și $c=2$ se obțin două soluții, $-1$ și $3$.

Înainte și după