Compunerea funcțiilor

Compunerea funcțiilor $f$ și $g$ este funcția $f\circ g$, definită prin $(f\circ g)(x)=f(g(x))$: se calculează întâi $g(x)$, apoi $f$ se aplică acestui rezultat. Expresia $(f\circ g)(x)$ există dacă $x$ este în domeniul lui $g$ și dacă $g(x)$ este în domeniul lui $f$. Ordinea contează, pentru că funcția scrisă prima la stânga (exterioară) se aplică ultima. Poți privi compunerea ca pe două mașini în lanț: ieșirea lui $g$ intră în $f$. Dacă $g(x)=x-1$ și $f(x)=\sqrt{x}$, atunci $\sqrt{x-1}$ este $f(g(x))$, iar la $x=5$ lanțul dă $g(5)=4$ și $f(4)=2$.

Exemplu rezolvat. Fie $f(x)=2x+1$ și $g(x)=x^2-3$.

1. $(f\circ g)(x)=f(x^2-3)=2(x^2-3)+1=2x^2-5$.
2. $(g\circ f)(x)=g(2x+1)=(2x+1{)}^2-3=4x^2+4x-2$.
3. La $x=1$: $(f\circ g)(1)=-3$, iar $(g\circ f)(1)=6$. Cele două compuneri sunt funcții diferite.

Domeniul compunerii este $D_{f\circ g}=\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\}$. El nu este, în general, intersecția $D_f\cap D_g$: argumentele lui $f$ sunt valorile lui $g$, nu argumentele lui $g$. Pentru a-l afla, se scrie domeniul lui $g$ și apoi condiția ca $g(x)$ să satisfacă domeniul lui $f$.

Compunerea este asociativă, $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$, dar nu este comutativă. Funcția identitate $1_A(x)=x$ nu schimbă nimic: $f\circ 1_A=f$ și $1_B\circ f=f$, când $f:A\to B$. Compunerea a două funcții afine este afină: dacă $f(x)=ax+b$ și $g(x)=cx+d$, atunci $(f\circ g)(x)=acx+ad+b$. Compunerea unei funcții cu ea însăși se notează $f\circ f$.

Ordinea contează și într-o situație reală. Un cupon scade $10$ lei din preț, $a(p)=p-10$, iar o reducere scade $20\%$, $b(p)=0,8p$. Pentru un produs de $100$ lei, cuponul aplicat întâi dă $(b\circ a)(100)=b(90)=72$ lei, iar reducerea aplicată întâi dă $(a\circ b)(100)=a(80)=70$ lei. Cele două funcții compuse sunt $0,8p-8$ și $0,8p-10$.

Două tipuri de probleme apar des: descompunerea unei funcții date în funcții mai simple și aflarea lui $f$ când se cunoaște $f\circ g$.

Exemplu rezolvat 1. Fie $f(x)=\frac{1}{x-1}$ și $g(x)=\sqrt{x}$. Află $f\circ g$ și $g\circ f$, cu domeniile lor.

1. $D_g=[0;+\infty )$. Pentru $f\circ g$ cerem și $g(x)\ne 1$, adică $\sqrt{x}\ne 1$, deci $x\ne 1$. Atunci $(f\circ g)(x)=\frac{1}{\sqrt{x}-1}$ pe $[0;1)\cup (1;+\infty )$.
2. $D_f=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Pentru $g\circ f$ cerem $f(x)\ge 0$, adică $\frac{1}{x-1}\ge 0$, deci $x>1$. Atunci $(g\circ f)(x)=\sqrt{\frac{1}{x-1}}$ pe $(1;+\infty )$.
3. Domeniile diferă, deci $f\circ g\ne g\circ f$.

Exemplu rezolvat 2. Află $f$ știind că $f(2x-1)=4x+3$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

1. Notăm $t=2x-1$, de unde $x=\frac{t+1}{2}$.
2. Înlocuim: $f(t)=4\cdot \frac{t+1}{2}+3=2t+5$.
3. Verificare: $f(2x-1)=2(2x-1)+5=4x+3$. Deci $f(x)=2x+5$.

Exemplu rezolvat 3. Funcția $h(x)=\sqrt{x^2+1}$ este compunerea lui $f(t)=\sqrt{t}$ cu $g(x)=x^2+1$, adică $h=f\circ g$. Domeniul lui $h$ este $\mathbb{R}$, deoarece $x^2+1\ge 1>0$ pentru orice $x$. Pentru $F(x)=2x+1$, compunerile repetate sunt $(F\circ F)(x)=4x+3$ și $(F\circ F\circ F)(x)=8x+7$.

Exemplu rezolvat 4. Pentru $f(x)=2x+1$ și $g(x)=x^2-3$, află $x$ astfel încât $(f\circ g)(x)=(g\circ f)(x)$.

1. Din exemplul de mai sus, $(f\circ g)(x)=2x^2-5$ și $(g\circ f)(x)=4x^2+4x-2$.
2. Egalitatea devine $2x^2+4x+3=0$, cu discriminantul $16-24=-8<0$.
3. Ecuația nu are soluții reale: pentru nicio valoare a lui $x$ cele două compuneri nu au aceeași valoare. Pentru $h(x)=3-x$, în schimb, $(h\circ h)(x)=3-(3-x)=x$ pentru orice $x$.

Exemplu rezolvat 5. Fie $f(x)=|x|$ și $g(x)=x-2$.

1. $(f\circ g)(x)=|x-2|$ și $(g\circ f)(x)=|x|-2$, ambele definite pe $\mathbb{R}$.
2. La $x=-1$: $|-1-2|=3$, iar $|-1|-2=-1$.
3. Cele două funcții au și valori minime diferite: $|x-2|\ge 0$, dar $|x|-2\ge -2$. Ordinea compunerii schimbă deci și imaginea.

Exemplu rezolvat 6. Fie $f(x)=\frac{1}{1-x}$, definită pentru $x\ne 1$. Calculează $f\circ f$ și $f\circ f\circ f$.

1. $(f\circ f)(x)=\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}=\frac{1-x}{-x}=\frac{x-1}{x}$, pentru $x\ne 0$ și $x\ne 1$.
2. $(f\circ f\circ f)(x)=\frac{1}{1-\frac{x-1}{x}}=\frac{x}{x-(x-1)}=x$.
3. Verificare la $x=2$: $f(2)=-1$, $f(-1)=\frac{1}{2}$, $f\left(\frac{1}{2}\right)=2$. Trei aplicări readuc numărul de unde a plecat.

Dacă $g$ și $f$ au același sens de variație, $f\circ g$ este crescătoare; dacă sensurile sunt opuse, $f\circ g$ este descrescătoare. Regula este demonstrată în lecția Monotonia funcțiilor.

Inversarea unei compuneri și funcția $f^{-1}$ sunt în lecția Funcții injective, surjective și inversabile.

Problemele cer valori ale compunerii, într-o ordine precisă, sau domeniul ei. Se calculează întâi funcția din interior.

Problema 1. Fie $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-2$ și $g(x)=x^2+1$. Valoarea expresiei $(g\circ f)(2)-(f\circ g)(2)$ este:

a) $0$ b) $-4$ c) $4$ d) $9$ e) $20$ f) $30$

1. $f(2)=4$ și $(g\circ f)(2)=g(4)=17$.
2. $g(2)=5$ și $(f\circ g)(2)=f(5)=13$.
3. Diferența este $17-13=4$.

Răspuns corect: c). Variantele greșite: a) presupune $g\circ f=f\circ g$; b) $-4=13-17$ inversează ordinea scăderii; d) $9=f(2)+g(2)$ adună valorile în loc să compună; e) $20=f(2)\cdot g(2)$ înmulțește valorile; f) $30=17+13$ adună compunerile în loc să le scadă.

Problema 2. Domeniul maxim al funcției $f\circ g$, cu $f(x)=\sqrt{x-1}$ și $g(x)=x^2-5$. Funcția $g$ este definită pe $\mathbb{R}$, iar $f$ cere argumentul $\ge 1$. Condiția $g(x)\ge 1$ înseamnă $x^2\ge 6$, deci $x\in (-\infty ;-\sqrt{6}]\cup [\sqrt{6};+\infty )$. Intervalul $[1;+\infty )$, domeniul lui $f$, se aplică valorii $g(x)$, nu lui $x$. În sens invers, $(g\circ f)(x)=(\sqrt{x-1}{)}^2-5=x-6$, dar numai pentru $x\ge 1$: formula $x-6$ are sens pe $\mathbb{R}$, însă domeniul compunerii este $[1;+\infty )$, hotărât de funcția din interior.

Problema 3. Fie $f(x)=x+m$ și $g(x)=2x-1$. Pentru ce valoare a lui $m$ avem $f\circ g=g\circ f$? Calculăm $(f\circ g)(x)=2x-1+m$ și $(g\circ f)(x)=2(x+m)-1=2x+2m-1$. Funcțiile sunt egale dacă și numai dacă $m=2m$, adică $m=0$. La $m=0$, $f$ este funcția identitate, care comută cu orice funcție.

Problema 4. Fie $f(x)=2x+3$ și $(f\circ g)(x)=6x-1$ pentru orice $x\in \mathbb{R}$. Care este $g(x)$? Din definiție, $f(g(x))=2g(x)+3=6x-1$, deci $2g(x)=6x-4$ și $g(x)=3x-2$. Verificare la $x=1$: $g(1)=1$ și $f(1)=5=6\cdot 1-1$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $f\circ g$ și $g\circ f$ sunt întotdeauna egale.
  Corect: pentru $f(x)=2x+1$ și $g(x)=x^2-3$, valorile la $x=1$ sunt $-3$ și $6$.
• Greșit: în $(f\circ g)(x)$ se aplică întâi $f$.
  Corect: se calculează întâi $g(x)$, apoi $f$ se aplică rezultatului.
• Greșit: domeniul compunerii este $D_f\cap D_g$.
  Corect: se cere $x\in D_g$ și $g(x)\in D_f$; pentru $f(x)=\sqrt{x-1}$ și $g(x)=x^2-5$ condiția este $x^2-5\ge 1$.
• Greșit: $(f\circ g)(x)=f(x)\cdot g(x)$.
  Corect: produsul se scrie $(fg)(x)$; compunerea înlocuiește pe $x$ din $f$ cu $g(x)$.

Înainte și după