Monotonia funcțiilor

Fie $f:D\to \mathbb{R}$ și $I\subseteq D$ un interval. Funcția este crescătoare pe $I$ dacă, pentru orice $x_1<x_2$ din $I$, avem $f(x_1)\le f(x_2)$, și strict crescătoare dacă $f(x_1)<f(x_2)$. Este descrescătoare pe $I$ dacă $x_1<x_2$ implică $f(x_1)\ge f(x_2)$, și **strict descrescătoare** dacă $f(x_1)>f(x_2)$. Pe grafic, o funcție strict crescătoare urcă de la stânga la dreapta, iar una strict descrescătoare coboară. Monotonia se precizează pe un interval; câteva puncte ale graficului nu o demonstrează.

Exemplu rezolvat. Arată că $f(x)=2x+1$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

1. Alegem $x_1<x_2$ oarecare.
2. Înmulțim cu $2>0$ și adunăm $1$: $2x_1+1<2x_2+1$.
3. Deci $f(x_1)<f(x_2)$ pentru orice pereche, iar funcția este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.

Monotonia pe un interval se demonstrează pentru perechi arbitrare $x_1<x_2$. Metoda folosită este semnul diferenței $f(x_1)-f(x_2)$ sau al raportului $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$. Dacă raportul este strict pozitiv pentru orice $x_1\ne x_2$ din $I$, funcția este strict crescătoare pe $I$; dacă este strict negativ, strict descrescătoare. Pentru $f(x)=ax+b$ raportul este egal cu $a$, deci funcția afină este strict crescătoare pentru $a>0$, strict descrescătoare pentru $a<0$ și constantă pentru $a=0$.

Rezultate utile, valabile pe un interval comun: o funcție strict monotonă este injectivă; suma a două funcții crescătoare este crescătoare; produsul a două funcții crescătoare cu valori nenegative este crescător; compunerea a două funcții cu același sens de variație este crescătoare, iar a două funcții cu sensuri opuse este descrescătoare. Diferența a două funcții crescătoare nu are sens de variație stabilit: $x$ și $2x$ cresc, dar $x-2x=-x$ scade. Dacă $f$ este strict crescătoare pe $I$, atunci $f(a)<f(b)$ dacă și numai dacă $a<b$ pentru $a,b\in I$; de aceea ecuația $f(x)=c$ are cel mult o soluție în $I$.

Exemplu rezolvat 1. Studiem $f(x)=x^2+x$ pe $[0;+\infty )$.

1. Pentru $0\le x_1<x_2$: $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2+1)}{x_1-x_2}=x_1+x_2+1$.
2. Pe $[0;+\infty )$, suma $x_1+x_2+1\ge 1>0$.
3. Raportul este pozitiv, deci $f$ este strict crescătoare pe $[0;+\infty )$.

Exemplu rezolvat 2. Studiem $g(x)=\frac{x}{x+1}$ pe $(-1;+\infty )$.

1. Pentru $-1<x_1<x_2$: $g(x_1)-g(x_2)=\frac{x_1(x_2+1)-x_2(x_1+1)}{(x_1+1)(x_2+1)}=\frac{x_1-x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}$.
2. Raportul este $\frac{1}{(x_1+1)(x_2+1)}>0$, fiindcă $x_1+1>0$ și $x_2+1>0$.
3. Funcția $g$ este strict crescătoare pe $(-1;+\infty )$.

Exemplu rezolvat 3. Pentru $h(x)=\frac{1}{x}$, raportul este $-\frac{1}{x_1{x}_2}$. El este negativ când $x_1$ și $x_2$ au același semn, deci $h$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ;0)$ și pe $(0;+\infty )$. Pe domeniul întreg $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ nu este descrescătoare: $-1<1$, dar $h(-1)=-1<1=h(1)$. Funcția $k(x)=\sqrt{4-x}$ este compunerea funcției strict descrescătoare $4-x$ cu radicalul strict crescător, deci $k$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ;4]$; de exemplu $k(0)=2>1=k(3)$.

Exemplu rezolvat 4. Folosim monotonia pentru valori și inegalități.

1. Funcția $g(x)=\frac{x}{x+1}$ este strict crescătoare pe $(-1;+\infty )$, deci pe $[0;3]$ are cea mai mică valoare în capătul stâng și cea mai mare în cel drept: $g(0)=0$ și $g(3)=\frac{3}{4}$.
2. Funcția $x\mapsto x^3+x$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$ și are valoarea $10$ la $x=2$, deci $x^3+x<10$ dacă și numai dacă $x<2$.
3. Pentru o funcție strict descrescătoare sensul se inversează: $\sqrt{4-a}<\sqrt{4-b}$ cu $a,b\le 4$ înseamnă $a>b$. De exemplu, $\sqrt{4-1}<\sqrt{4-0}$, iar $1>0$ este adevărat.

O funcție poate avea sensuri diferite pe intervale diferite. Pentru $m(x)=|x-1|$: dacă $x_1<x_2\le 1$, atunci $m(x_1)-m(x_2)=(1-x_1)-(1-x_2)=x_2-x_1>0$, deci $m$ este strict descrescătoare pe $(-\infty ;1]$; dacă $1\le x_1<x_2$, atunci $m(x_1)-m(x_2)=x_1-x_2<0$, deci este strict crescătoare pe $[1;+\infty )$. Punctul $x=1$ este locul în care se schimbă sensul, iar $m(1)=0$ este cea mai mică valoare.

Pentru funcția de gradul al doilea, intervalele de monotonie sunt în lecția Monotonia funcției de gradul al doilea.

Monotonia dă la admitere condiții pe parametri și soluții unice. Pentru o funcție afină, semnul coeficientului lui $x$ hotărăște sensul, iar pentru sume de funcții crescătoare se folosește faptul că suma rămâne crescătoare. O ecuație care amestecă un polinom cu un radical se rezolvă adesea prin găsirea unei soluții și prin argumentul că funcția este strict monotonă.

Problema 1. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(m^2-4)x+1$ este strict descrescătoare dacă și numai dacă:

a) $m\in (-\infty ;-2)$ b) $m\in (-2;2)$ c) $m\in [-2;2]$ d) $m\in (2;+\infty )$ e) $m\in (-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )$ f) $m\in (-\infty ;2)$

1. Coeficientul lui $x$ este $m^2-4$, iar funcția este strict descrescătoare dacă și numai dacă $m^2-4<0$.
2. Inegalitatea $m^2<4$ înseamnă $-2<m<2$.

Răspuns corect: b). Variantele greșite: a) și d) păstrează doar o parte dintre soluțiile lui $m^2>4$, care dau funcție crescătoare; c) include $m=\pm 2$, când $f(x)=1$ este constantă; e) este mulțimea valorilor pentru care funcția este strict crescătoare; f) rezolvă $m-2<0$, fără pătratul.

Problema 2. Ecuația $x^3+x=10$ are o singură soluție reală. Funcțiile $x^3$ și $x$ sunt strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci suma lor este strict crescătoare și ia fiecare valoare cel mult o dată. Se verifică $2^3+2=10$, deci soluția unică este $x=2$. Pentru $\sqrt{x}+x=6$, pe $[0;+\infty )$ suma este strict crescătoare și $\sqrt{4}+4=6$, deci $x=4$; inecuația $\sqrt{x}+x>6$ are soluțiile $x>4$.

Greșeli frecvente

• Greșit: fiindcă $f(1)<f(2)$, funcția $f(x)=x^2$ crește pe toată axa.
  Corect: $f(-2)=4>1=f(-1)$ contrazice concluzia; monotonia cere inegalitatea pentru toate perechile.
• Greșit: produsul oricăror două funcții crescătoare este crescător.
  Corect: $x$ este crescătoare pe $\mathbb{R}$, dar $x\cdot x=x^2$ scade pe $(-\infty ;0]$.
• Greșit: $f(x)=\frac{1}{x}$ este strict descrescătoare pe $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.
  Corect: este strict descrescătoare pe fiecare dintre $(-\infty ;0)$ și $(0;+\infty )$, dar $f(-1)=-1<1=f(1)$.
• Greșit: diferența a două funcții crescătoare este crescătoare.
  Corect: $x$ și $2x$ sunt crescătoare, iar $x-2x=-x$ este descrescătoare.

Înainte și după