Funcții injective, surjective și inversabile

O funcție $f:A\to B$ este injectivă dacă argumentele diferite au valori diferite, surjectivă dacă fiecare element din $B$ este valoarea unui argument, adică $\mathrm{Im}f=B$, și bijectivă dacă este și injectivă, și surjectivă. Numai o funcție bijectivă are inversă $f^{-1}:B\to A$, caracterizată prin $f^{-1}(y)=x$ dacă și numai dacă $f(x)=y$. Pe grafic, injectivitatea înseamnă că nicio dreaptă orizontală nu taie graficul în două puncte: funcția $x\mapsto x^2$ pe $\mathbb{R}$ nu o respectă, pentru că dreapta $y=4$ taie graficul în $x=-2$ și $x=2$.

Exemplu rezolvat. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+3$.

1. Din $2x_1+3=2x_2+3$ rezultă $x_1=x_2$, deci $f$ este injectivă.
2. Pentru orice $y\in \mathbb{R}$, ecuația $2x+3=y$ are soluția $x=\frac{y-3}{2}$, deci $f$ este surjectivă.
3. Funcția este bijectivă, iar $f^{-1}(y)=\frac{y-3}{2}$.

Injectivitatea se verifică prin implicația $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$, valabilă pentru orice $x_1,x_2\in A$. O singură pereche $x_1\ne x_2$ cu aceeași valoare o contrazice. Surjectivitatea cere ca ecuația $f(x)=y$ să aibă cel puțin o soluție în $A$ pentru fiecare $y\in B$, deci depinde de codomeniu. Pe grafic, o dreaptă orizontală $y=c$ cu $c\in B$ taie graficul: cel mult o dată dacă $f$ este injectivă, cel puțin o dată dacă $f$ este surjectivă, exact o dată dacă $f$ este bijectivă. Orice funcție strict monotonă este injectivă: dacă $x_1<x_2$, atunci $f(x_1)<f(x_2)$ sau $f(x_1)>f(x_2)$ pentru toate perechile, deci valorile nu coincid niciodată. Reciproca este falsă: $f(x)=\frac{1}{x}$ pe $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ este injectivă, dar nu este monotonă pe tot domeniul, fiindcă $f(-1)=-1<1=f(1)$, iar pe $(0;+\infty )$ scade.

Condiția necesară și suficientă pentru ca $f$ să fie inversabilă, adică să existe $g:B\to A$ cu $g\circ f=1_A$ și $f\circ g=1_B$, este ca $f$ să fie bijectivă. Atunci $f^{-1}(f(x))=x$ pentru $x\in A$ și $f(f^{-1}(y))=y$ pentru $y\in B$. Graficele lui $f$ și $f^{-1}$ sunt simetrice față de dreapta $y=x$: punctul $(a;b)$ aparține graficului lui $f$ dacă și numai dacă $(b;a)$ aparține graficului lui $f^{-1}$. Pentru $f(x)=2x+3$, punctul $(1;5)$ al lui $f$ corespunde punctului $(5;1)$ al lui $f^{-1}$. Compunerea a două bijecții $f$ și $g$ este bijecție, iar $(g\circ f{)}^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$. Pentru inversă, se rezolvă ecuația $f(x)=y$ în necunoscuta $x$ și se verifică apartenența la $A$.

Exemplu rezolvat 1. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^3+1$.

1. Din $x_1^3+1=x_2^3+1$ rezultă $x_1^3-x_2^3=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1{x}_2+x_2^2)=0$. Al doilea factor este strict pozitiv când $x_1$ și $x_2$ nu sunt amândouă nule, deci $x_1=x_2$ și $f$ este injectivă.
2. Ecuația $x^3+1=y$ are soluția reală $x=\sqrt[3]{y-1}$ pentru orice $y$, deci $f$ este surjectivă.
3. Inversa este $f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y-1}$; de exemplu $f^{-1}(9)=2$, fiindcă $f(2)=9$.

Exemplu rezolvat 2. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-2x=(x-1{)}^2-1$.

1. $f(0)=f(2)=0$, deci $f$ nu este injectivă.
2. Valoarea $f(x)\ge -1$ pentru orice $x$, deci $-2\notin \mathrm{Im}f$ și $f$ nu este surjectivă.
3. Restricția $f:[1;+\infty )\to [-1;+\infty )$ este bijectivă. Din $(x-1{)}^2=y+1$ și $x\ge 1$ rezultă $f^{-1}(y)=1+\sqrt{y+1}$.

Exemplu rezolvat 3. Pe mulțimi finite cu același număr de elemente, injectivitatea, surjectivitatea și bijectivitatea coincid. Funcția $g:\{1;2;3;4\}\to \{1;2;3;4\}$ cu $g(1)=3$, $g(2)=1$, $g(3)=4$, $g(4)=2$ are valori distincte, deci este bijectivă. Inversa ei citește tabelul invers: $g^{-1}(3)=1$, $g^{-1}(1)=2$, $g^{-1}(4)=3$, $g^{-1}(2)=4$.

Între mulțimi finite, numărul de elemente hotărăște multe: dacă $|A|>|B|$, nicio funcție $A\to B$ nu este injectivă (cu $5$ elevi și $4$ bănci, doi stau pe aceeași bancă), iar dacă $|A|<|B|$, nicio funcție nu este surjectivă.

Exemplu rezolvat 4. Fie $g:\mathbb{R}\setminus \{2\}\to \mathbb{R}\setminus \{1\}$, $g(x)=\frac{x+1}{x-2}$.

1. Din $y(x-2)=x+1$ rezultă $x(y-1)=2y+1$.
2. Pentru $y\ne 1$ se obține $x=\frac{2y+1}{y-1}$, iar $x\ne 2$, fiindcă $\frac{2y+1}{y-1}-2=\frac{3}{y-1}\ne 0$. Deci $g$ este bijectivă și $g^{-1}(y)=\frac{2y+1}{y-1}$.
3. Verificare: $g^{-1}(4)=\frac{9}{3}=3$ și $g(3)=\frac{4}{1}=4$.

Despre domeniile și compunerea care apar aici, vezi lecțiile Funcții — introducere și Compunerea funcțiilor.

La admitere apar numărarea funcțiilor injective și calculul valorii inversei. Numărul funcțiilor injective $f:A\to B$, cu $|A|=m\le |B|=n$, este $A_n^m=n(n-1)\cdots (n-m+1)$: prima valoare se alege în $n$ moduri, a doua în $n-1$ moduri, și așa mai departe.

Problema 1. Fie $f:\mathbb{R}\setminus \{-3\}\to \mathbb{R}\setminus \{2\}$, $f(x)=\frac{2x-1}{x+3}$, funcție bijectivă. Valoarea $f^{-1}(3)$ este:

a) $\frac{5}{6}$ b) $\frac{6}{5}$ c) $-10$ d) $10$ e) $8$ f) $-\frac{8}{5}$

1. Din $y(x+3)=2x-1$ rezultă $x(y-2)=-1-3y$, deci $x=\frac{1+3y}{2-y}$ și $f^{-1}(y)=\frac{1+3y}{2-y}$, pentru $y\ne 2$.
2. Valoarea $2$ nu este atinsă, fiindcă $2(x+3)=2x-1$ ar da $6=-1$; de aceea codomeniul este $\mathbb{R}\setminus \{2\}$. Apoi $f^{-1}(3)=\frac{1+9}{2-3}=-10$.
3. Verificare: $f(-10)=\frac{-21}{-7}=3$.

Răspuns corect: c). Variantele greșite: a) $\frac{5}{6}=f(3)$ calculează funcția, nu inversa; b) $\frac{6}{5}=\frac{1}{f(3)}$ confundă inversa cu inversul; d) schimbă semnul numitorului: $\frac{1+9}{3-2}$; e) greșește semnul la izolarea lui $x$: $\frac{3y-1}{y-2}$; f) schimbă semnele ambilor termeni: $\frac{1-3y}{2+y}$.

Problema 2. Câte funcții injective $f:\{1;2;3\}\to \{1;2;3;4;5\}$ există?

a) $10$ b) $15$ c) $60$ d) $120$ e) $125$ f) $243$

Prima valoare se alege în $5$ moduri, a doua în $4$, a treia în $3$: $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$. Răspuns corect: c). Variantele greșite: a) $10=C_5^3$ ignoră ordinea; b) $15=5\cdot 3$; d) $120=5!$ ordonează toate elementele lui $B$; e) $125=5^3$ numără toate funcțiile; f) $243=3^5$ inversează baza cu exponentul.

Problema 3. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(m-1)x+3$ este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă. Pentru $m=1$ funcția este constantă $3$ și nu este injectivă. Pentru $m\ne 1$, ecuația $(m-1)x+3=y$ are soluția unică $x=\frac{y-3}{m-1}$, deci $f$ este bijectivă. Răspuns: $m\in \mathbb{R}\setminus \{1\}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: o funcție injectivă este automat surjectivă.
  Corect: $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$, $f(n)=2n$ este injectivă, dar nu atinge numerele impare; proprietățile se verifică separat.
• Greșit: surjectivitatea nu depinde de codomeniu.
  Corect: $x\mapsto x^2$ nu este surjectivă de la $\mathbb{R}$ la $\mathbb{R}$, dar este surjectivă de la $\mathbb{R}$ la $[0;+\infty )$.
• Greșit: $f^{-1}(x)$ înseamnă $\frac{1}{f(x)}$.
  Corect: $f^{-1}$ este funcția inversă; pentru $f(x)=2x+3$, $f^{-1}(5)=1$, iar $\frac{1}{f(5)}=\frac{1}{13}$.
• Greșit: pentru $f(x)=x^2$ pe $\mathbb{R}$ se scrie inversa $\sqrt{y}$.
  Corect: $f$ nu este bijectivă pe $\mathbb{R}$ și nu are inversă; pe $[0;+\infty )$ inversa este $\sqrt{y}$, iar pe $(-\infty ;0]$ este $-\sqrt{y}$.

Înainte și după

Întrebări frecvente