Funcția liniară

În această lecție studiem funcția $f(x)=ax$, cu $a$ număr real, care descrie proporționalitatea directă. În unele manuale, termenul „funcție liniară” se folosește și pentru forma generală $f(x)=ax+b$, pe care o tratează lecția Funcția afină.

Două mărimi sunt direct proporționale dacă raportul lor este constant: $\frac{y}{x}=a$ pentru $x\ne 0$. Numărul $a$ se numește coeficient de proporționalitate. Dacă un creion costă $3$ lei, costul pentru $n$ creioane este $f(n)=3n$ lei. Dublând numărul de creioane, se dublează și costul, $f(2n)=2f(n)$, iar pentru zero creioane costul este zero, $f(0)=0$. La orice funcție $f(x)=ax$ avem $f(0)=a\cdot 0=0$.

Graficul lui $f(x)=ax$, desenat pentru toate numerele reale, este o dreaptă care trece prin origine, punctul $O(0;0)$. Pentru a o trasa, mai găsești un punct, de exemplu $(1;a)$. Dacă $a>0$, dreapta urcă de la stânga la dreapta; dacă $a<0$, coboară. Cu cât $|a|$ este mai mare, cu atât dreapta este mai aproape de axa $Oy$. Pentru $a=0$ funcția este $f(x)=0$, iar graficul este axa $Ox$. Dacă domeniul este un interval, graficul este un segment sau o semidreaptă; dacă domeniul este o mulțime finită, graficul are numai puncte izolate. Domeniul se alege după context: numărul de creioane nu poate fi negativ sau fracționar.

Nu orice regulă cu grafic drept este de acest fel. Funcția $g(x)=3x+2$ este afină: $g(0)=2$, deci graficul ei nu trece prin origine. Dacă se știe că graficul lui $f(x)=ax$ trece prin punctul $(x_0;y_0)$, cu $x_0\ne 0$, atunci $a=\frac{y_0}{x_0}$.

Exemplu rezolvat 1. Pentru $f(x)=4x$, află punctele de pe grafic la $x=0$ și $x=2$.

1. $f(0)=4\cdot 0=0$, deci punctul $(0;0)$.
2. $f(2)=4\cdot 2=8$, deci punctul $(2;8)$.
3. Dreapta prin aceste două puncte este graficul, când domeniul este $\mathbb{R}$.

Exemplu rezolvat 2. Graficul funcției $f(x)=ax$ trece prin punctul $A(3;-12)$. Află funcția și verifică dacă punctul $B(-2;8)$ este pe grafic.

1. $a=\frac{-12}{3}=-4$, deci $f(x)=-4x$.
2. $f(-2)=-4\cdot (-2)=8$.
3. Ordonata lui $B$ este $8$, deci $B$ aparține graficului.

Exemplu rezolvat 3. O mașină merge cu viteza constantă de $60$ km/h. Distanța parcursă în $t$ ore este $d(t)=60t$ km.

1. În $2,5$ ore: $d(2,5)=60\cdot 2,5=150$ km.
2. Timpul pentru $210$ km se află din $60t=210$, deci $t=3,5$ ore.
3. Graficul este o semidreaptă din origine, pentru că $t\ge 0$.

Greșeli frecvente

• Greșit: graficul lui $f(x)=3x+2$ trece prin origine.
  Corect: $f(0)=2$, deci graficul nu trece prin origine.
• Greșit: la $f(x)=ax$, valoarea $f(0)$ poate fi diferită de zero.
  Corect: $f(0)=a\cdot 0=0$ pentru orice $a$.
• Greșit: într-o problemă despre numărul de obiecte, orice număr real este admis.
  Corect: domeniul se adaptează contextului; numărul de obiecte este natural.
• Greșit: dreapta $y=-2x$ urcă de la stânga la dreapta, pentru că $2>0$.
  Corect: coeficientul este $-2<0$, deci dreapta coboară; punctul $(1;-2)$ este pe grafic.

Înainte și după