Funcții trigonometrice

Funcțiile $\sin x$ și $\cos x$ sunt definite pentru orice real $x$, iau valori în $[-1;1]$ și se repetă la fiecare $2\pi$. Tangenta este $\mathrm{tg}x=\sin x/\cos x$, deci nu este definită când $\cos x=0$, adică la $x=\pi /2+k\pi$; are perioada $\pi$ și imaginea $\mathbb{R}$. Cotangenta, $\mathrm{ctg}x=\cos x/\sin x$, nu este definită la $x=k\pi$ și are tot perioada $\pi$. Graficele sinusului și cosinusului sunt unde care oscilează între $-1$ și $1$, iar graficul tangentei se compune din ramuri separate de asimptote verticale.

Exemplu rezolvat. Calculează valorile pentru $x=\pi /3$.

1. $\sin (\pi /3)=\sqrt{3}/2$ și $\cos (\pi /3)=1/2$.
2. $\mathrm{tg}(\pi /3)=(\sqrt{3}/2)/(1/2)=\sqrt{3}$.
3. Cosinusul este nenul, deci tangenta este definită.

Domenii și imagini. Funcțiile $\sin$ și $\cos$ au domeniul $\mathbb{R}$ și imaginea $[-1;1]$. Funcția $\mathrm{tg}$ are domeniul $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, iar $\mathrm{ctg}$ are domeniul $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$; ambele iau orice valoare reală.

Valori de reținut. Din cercul trigonometric rezultă tabelul:

Paritate și perioadă. Sinusul este impar, cosinusul este par, iar tangenta și cotangenta sunt impare pe domeniile lor simetrice. De exemplu, $\sin \left(-\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{1}{2}$ și $\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$. Perioada principală este $2\pi$ pentru $\sin$ și $\cos$ și $\pi$ pentru $\mathrm{tg}$ și $\mathrm{ctg}$. Între tangentă și cotangentă există relația $\mathrm{tg}x\cdot \mathrm{ctg}x=1$, valabilă pentru $x\ne \frac{k\pi }{2}$.

Zerouri și extreme. $\sin x=0$ dacă și numai dacă $x=k\pi$; $\cos x=0$ dacă și numai dacă $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$. Sinusul are maximul $1$ la $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$ și minimul $-1$ la $x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$; cosinusul are maximul $1$ la $x=2k\pi$ și minimul $-1$ la $x=\pi +2k\pi$.

Monotonie. Sinusul crește pe $\left[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{\pi }{2}+2k\pi \right]$ și scade pe $\left[\frac{\pi }{2}+2k\pi ;\frac{3\pi }{2}+2k\pi \right]$. Cosinusul scade pe $[2k\pi ;\pi +2k\pi ]$ și crește pe $[\pi +2k\pi ;2\pi +2k\pi ]$. Tangenta crește pe fiecare interval $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$, iar cotangenta scade pe fiecare interval $(k\pi ;\pi +k\pi )$.

Grafice. Deoarece $\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$, graficul cosinusului este graficul sinusului translatat cu $\frac{\pi }{2}$ la stânga. Graficul tangentei are asimptote verticale în punctele excluse din domeniu, adică în dreptele $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$; graficul cotangentei are asimptote verticale în dreptele $x=k\pi$. Pentru $A\sin (\omega x+\phi )+d$, amplitudinea este $|A|$, iar perioada, când $\omega \ne 0$, este $2\pi /|\omega |$.

Exemplu rezolvat 1. Pentru $f(x)=3\sin (2x)-1$:

1. Amplitudinea este $3$.
2. Perioada este $2\pi /2=\pi$.
3. Cum $\sin (2x)\in [-1;1]$, imaginea este $[-4;2]$.

Exemplu rezolvat 2. Pentru $f(x)=2\cos (3x)+1$, amplitudinea este $2$, perioada $2\pi /3$, iar imaginea $[-1;3]$. Maximul $3$ apare când $\cos (3x)=1$, adică $x=2k\pi /3$ cu $k\in \mathbb{Z}$. Minimul $-1$ apare când $3x=(2k+1)\pi$, deci $x=(2k+1)\pi /3$.

Exemplu rezolvat 3. Ordonăm numerele $\sin 1$, $\sin 2$ și $\sin 3$ (argumentele sunt în radiani).

1. Sinusul este crescător pe $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$ și $\sin x=\sin (\pi -x)$.
2. Avem $\sin 2=\sin (\pi -2)$ și $\sin 3=\sin (\pi -3)$, cu $\pi -2\approx 1,14$ și $\pi -3\approx 0,14$, toate în $\left[0;\frac{\pi }{2}\right]$.
3. Cum $0,14<1<1,14$, rezultă $\sin 3<\sin 1<\sin 2$. Verificare: $0,141<0,841<0,909$.

Exemplu rezolvat 4. Domeniul și perioada lui $f(x)=\mathrm{tg}(2x)$.

1. Funcția nu este definită când $2x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, adică $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$.
2. Perioada este $\frac{\pi }{2}$, fiindcă $\mathrm{tg}\left(2\left(x+\frac{\pi }{2}\right)\right)=\mathrm{tg}(2x+\pi )=\mathrm{tg}(2x)$.

Exemplu rezolvat 5. Citim din grafic câte soluții au, pe $[0;2\pi ]$, ecuațiile $\sin x=\frac{1}{2}$, $\cos x=0$ și $\sin x=0$.

1. Dreapta $y=\frac{1}{2}$ taie graficul sinusului în două puncte, $x=\frac{\pi }{6}$ și $x=\frac{5\pi }{6}$.
2. Cosinusul se anulează la $x=\frac{\pi }{2}$ și $x=\frac{3\pi }{2}$: două soluții.
3. Sinusul se anulează la $0$, $\pi$ și $2\pi$: trei soluții, deoarece ambele capete ale intervalului sunt incluse.

Translația verticală schimbă poziția graficului și imaginea, dar nu schimbă amplitudinea sau perioada oscilației. Semnul negativ în fața sinusului reflectă graficul față de axa orizontală; valoarea absolută a coeficientului rămâne amplitudinea.

Perioade. Funcțiile $\sin (ax+b)$ și $\cos (ax+b)$ au perioada principală $2\pi /|a|$, iar $\mathrm{tg}(ax+b)$ și $\mathrm{ctg}(ax+b)$ au perioada principală $\pi /|a|$. Pentru $|\sin x|$, ${\sin }^{2}x$, ${\cos }^{2}x$ și $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$, perioada principală este $\pi$. Domeniul lui $\mathrm{tg}(ax+b)$ exclude $ax+b=\frac{\pi }{2}+k\pi$: de exemplu, $\mathrm{tg}\left(3x-\frac{\pi }{4}\right)$ are perioada $\frac{\pi }{3}$ și nu este definită pentru $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{3}$.

Pentru o sumă $f=f_1+f_2$ de funcții periodice cu perioadele $T_1$ și $T_2$ se caută cea mai mică perioadă comună $T=m{T}_1=n{T}_2$, cu $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Pentru $f(x)=\sin 2x+\cos 3x$, $T_1=\pi$ și $T_2=2\pi /3$. Din $m\pi =n\cdot 2\pi /3$ rezultă $3m=2n$, cea mai mică soluție este $m=2$, $n=3$, deci $T=2\pi$. Verificare: $f(x+2\pi )=f(x)$, iar $f(x+\pi )\ne f(x)$ (de exemplu, $f(0,3+\pi )\approx -0,057\ne f(0,3)\approx 1,186$).

Imaginea. Pentru $A\sin (\omega x+\phi )+d$ imaginea este $[d-|A|;d+|A|]$. Pentru $a\sin x+b\cos x$ se folosește forma $R\sin (x+\phi )$, cu $R=\sqrt{a^2+b^2}$: imaginea este $[-R;R]$. De exemplu, $\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ are imaginea $[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$, iar maximul se atinge la $x=\frac{\pi }{4}+2k\pi$.

Problemă rezolvată. Valoarea maximă a funcției $f(x)=3\sin x+4\cos x-2$ este:

a) $-7$ b) $3$ c) $5$ d) $7$ e) $\sqrt{23}$ f) $\sqrt{29}$

1. Cu $R=\sqrt{3^2+4^2}=5$, avem $3\sin x+4\cos x=5\sin (x+\phi )$, deci ia toate valorile din $[-5;5]$.
2. Maximul $5$ se atinge când $\sin (x+\phi )=1$.
3. $\max f=5-2=3$.
4. Verificare: pentru $\sin x=\frac{3}{5}$ și $\cos x=\frac{4}{5}$ avem $3\cdot \frac{3}{5}+4\cdot \frac{4}{5}=5$, deci $f(x)=5-2=3$, iar ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$.

Răspuns corect: b). Variantele greșite: a) $-7=-5-2$ este minimul; c) $5$ uită termenul $-2$; d) $7=5+2$ schimbă semnul termenului liber; e) $\sqrt{23}=\sqrt{9+16-2}$ pune $-2$ sub radical; f) $\sqrt{29}=\sqrt{9+16+4}$ include $(-2{)}^2$ în $R^2$.

Greșeli frecvente

• Greșit: tangenta este definită la $x=\pi /2$.
  Corect: acolo cosinusul este zero și raportul nu există.
• Greșit: din $\sin x=2$ se caută soluții reale.
  Corect: $\sin x\in [-1;1]$, deci ecuația nu are soluții reale.
• Greșit: perioada lui $\sin (2x)$ este $2\pi$.
  Corect: este $\pi$.
• Greșit: imaginea lui $3\sin x-1$ este $[-3;3]$.
  Corect: termenul $-1$ translatează graficul în jos, deci imaginea este $[-4;2]$.
• Greșit: tangenta este crescătoare pe tot domeniul ei.
  Corect: crește pe fiecare interval $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$; de exemplu $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$ este mai mare decât $\mathrm{tg}\frac{3\pi }{4}=-1$, deși $\frac{\pi }{4}<\frac{3\pi }{4}$.

Înainte și după

Întrebări frecvente