Funcții — introducere

Un automat de bilete primește numărul de persoane și afișează prețul total. Orice funcție funcționează la fel. O funcție are trei părți: o mulțime $A$ de argumente, numită domeniu de definiție, o mulțime $B$ în care se află valorile, numită codomeniu, și o regulă care asociază fiecărui element din $A$ exact un element din $B$. Scriem $f:A\to B$, iar elementul asociat lui $x$ se notează $f(x)$. Mulțimea valorilor care apar efectiv se numește imaginea funcției și poate fi mai mică decât $B$.

Regula unei funcții se poate da în patru moduri:

• printr-o diagramă cu săgeți de la fiecare element al lui $A$ spre valoarea lui;
• printr-un tabel cu două rânduri: argumentele și valorile lor;
• printr-o formulă, de exemplu $f(x)=3x-1$;
• printr-un grafic, adică prin punctele $(x;f(x))$ din plan.

În diagramă, fiecare element al domeniului are exact o săgeată. Un element fără săgeată nu aparține domeniului, iar un element cu două săgeți spre valori diferite arată că regula nu este o funcție. Tabelul cu argumentele $1;2;2$ și valorile $5;7;9$ nu descrie o funcție, fiindcă argumentul $2$ are două valori. În schimb, două argumente diferite pot avea aceeași valoare: fiecărui elev dintr-o clasă îi corespunde o singură medie, dar mai mulți elevi pot avea aceeași medie.

O funcție cu domeniul și valorile în mulțimea numerelor reale se numește funcție numerică. Formula $f(x)=3x-1$ spune: înmulțește argumentul cu $3$, apoi scade $1$.

Dacă o formulă este dată fără domeniu, se iau toate numerele reale pentru care ea are sens. La $f(x)=\frac{3}{x-2}$ împărțirea la zero este interzisă, deci domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

Exemplu rezolvat 1. Fie $f:\{-1;0;1;2\}\to \mathbb{Z}$, $f(x)=x^2-1$. Scrie valorile funcției și imaginea ei.

1. $f(-1)=(-1{)}^2-1=0$ și $f(0)=0^2-1=-1$.
2. $f(1)=1^2-1=0$ și $f(2)=2^2-1=3$.
3. Imaginea este $\{-1;0;3\}$. Are trei elemente, deși domeniul are patru, pentru că $-1$ și $1$ ajung la aceeași valoare, $0$.

Exemplu rezolvat 2. Pentru $f(x)=\frac{3}{x-2}$, află domeniul și calculează $f(5)$ și $f(-1)$.

1. Numitorul nu poate fi zero: $x-2\ne 0$, deci $x\ne 2$ și domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
2. $f(5)=\frac{3}{5-2}=1$.
3. $f(-1)=\frac{3}{-1-2}=-1$.

Punctele din plan care reprezintă o funcție sunt tratate în lecția Graficul unei funcții, iar funcțiile cu grafic drept în lecțiile Funcția liniară și Funcția afină.

O funcție $f:A\to B$, cu $A$ și $B$ nevide, asociază fiecărui $x\in A$ un singur element $f(x)\in B$. Două funcții sunt egale dacă și numai dacă au același domeniu, același codomeniu și aceeași valoare în fiecare punct. Imaginea unei submulțimi $E\subseteq A$ este $f(E)=\{f(x)\mid x\in E\}$, iar imaginea funcției este $\mathrm{Im}f=f(A)$. Restricția lui $f$ la $E$ este funcția $f{|}_E:E\to B$ care păstrează aceleași valori. Un număr $y_0$ aparține lui $\mathrm{Im}f$ dacă și numai dacă ecuația $f(x)=y_0$ are cel puțin o soluție în $A$; soluțiile ei sunt argumentele care au valoarea $y_0$.

Regula nu trebuie să fie o formulă. Funcția $d:\{1;2;3;4;5;6\}\to \mathbb{N}$, în care $d(n)$ este numărul de divizori naturali ai lui $n$, are valorile $1;2;2;3;2;4$, deci $\mathrm{Im}d=\{1;2;3;4\}$. Argumentele $2$, $3$ și $5$ au aceeași valoare, iar regula rămâne o funcție, pentru că fiecare argument are o singură valoare.

Când formula este dată fără domeniu, se ia domeniul maxim: mulțimea numerelor reale pentru care toate operațiile sunt posibile. Numitorul unei fracții trebuie să fie nenul, iar radicandul unui radical de ordin par trebuie să fie pozitiv sau nul. Condițiile se cer simultan.

Exemplu rezolvat 1. Domeniul maxim al lui $f(x)=\frac{\sqrt{x+3}}{x^2-4}$:

1. Radicalul impune $x+3\ge 0$, adică $x\ge -3$.
2. Numitorul impune $x^2-4\ne 0$, adică $x\ne -2$ și $x\ne 2$.
3. Ambele condiții dau $[-3;+\infty )\setminus \{-2;2\}=[-3;-2)\cup (-2;2)\cup (2;+\infty )$.

Exemplu rezolvat 2. Funcțiile $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ și $g(x)=x+1$, date prin domeniul maxim, nu sunt egale.

1. Domeniul lui $f$ este $\mathbb{R}\setminus \{1\}$, iar cel al lui $g$ este $\mathbb{R}$.
2. Pentru $x\ne 1$, $f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1=g(x)$.
3. Domeniile diferă, deci $f\ne g$; funcția $f$ este egală cu restricția lui $g$ la $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.

Exemplu rezolvat 3. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-4$ și $E=\{-3;-2;0;2;3\}$.

1. Calculăm $f(-3)=5$, $f(-2)=0$, $f(0)=-4$, $f(2)=0$, $f(3)=5$, deci $f(E)=\{-4;0;5\}$.
2. Valoarea $5$ este luată pentru $x^2-4=5$, adică $x=\pm 3$.
3. Valoarea $-5$ nu aparține imaginii: $x^2-4=-5$ înseamnă $x^2=-1$, imposibil în $\mathbb{R}$.

Unele funcții se definesc prin cazuri: formula depinde de intervalul în care se află argumentul. Două funcții particulare apar des: funcția constantă $f(x)=c$, care are aceeași valoare în orice punct, și funcția identitate $1_A:A\to A$, $1_A(x)=x$.

Exemplu rezolvat 4. Fie $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x+1,& x<1\\ x^2,& x\ge 1\end{array}$. Calculează $f(-2)$, $f(1)$, $f(3)$ și rezolvă ecuația $f(x)=4$.

1. Pentru $-2<1$ folosim prima formulă: $f(-2)=2\cdot (-2)+1=-3$. Pentru $1\ge 1$ și $3\ge 1$ folosim a doua: $f(1)=1$ și $f(3)=9$.
2. Pe $x<1$, ecuația $2x+1=4$ dă $x=\frac{3}{2}$, care nu verifică $x<1$; nu convine.
3. Pe $x\ge 1$, ecuația $x^2=4$ dă $x=\pm 2$, iar din $x\ge 1$ rămâne $x=2$. Singura soluție este $x=2$.

Reprezentările funcțiilor prin grafic, operațiile, compunerea, bijectivitatea și monotonia au lecții proprii: Graficul unei funcții, Operații cu funcții, Compunerea funcțiilor, Funcții injective, surjective și inversabile și Monotonia funcțiilor.

La admitere, funcțiile apar prin numărare și prin determinarea imaginii. Numărul funcțiilor $f:A\to B$ între mulțimi finite este $|B{|}^{|A|}$, deoarece fiecare dintre cele $|A|$ argumente alege independent una dintre cele $|B|$ valori. Imaginea se află din ecuația $f(x)=y$.

Problema 1. Câte funcții $f:\{1;2;3\}\to \{1;2;3;4\}$ au $f(1)\ne f(2)$?

a) $12$ b) $16$ c) $24$ d) $48$ e) $64$ f) $81$

1. Numărul tuturor funcțiilor este $4^3=64$.
2. Funcțiile cu $f(1)=f(2)$ se obțin alegând valoarea comună în $4$ moduri și pe $f(3)$ în $4$ moduri: $4\cdot 4=16$.
3. Cele cu $f(1)\ne f(2)$ sunt $64-16=48$.

Răspuns corect: d). Variantele greșite: a) $12$ numără funcțiile cu $f(1)=f(2)$ și $f(3)$ diferit de ele; b) $16$ numără funcțiile cu $f(1)=f(2)$; c) $24=4\cdot 3\cdot 2$ numără doar funcțiile cu valori toate diferite; e) $64$ ignoră condiția; f) $81=3^4$ inversează baza cu exponentul.

Problema 2. Imaginea funcției $f:\mathbb{R}\setminus \{1\}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+2}{x-1}$ este:

a) $\mathbb{R}$ b) $\mathbb{R}\setminus \{1\}$ c) $\mathbb{R}\setminus \{-2\}$ d) $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ e) $\mathbb{R}\setminus \{2\}$ f) $(-\infty ;1)$

1. Ecuația $y=\frac{x+2}{x-1}$ devine $y(x-1)=x+2$, adică $x(y-1)=y+2$.
2. Pentru $y=1$ se obține $0=3$, imposibil, deci $1\notin \mathrm{Im}f$.
3. Pentru $y\ne 1$, $x=\frac{y+2}{y-1}$ și $x\ne 1$, fiindcă $\frac{y+2}{y-1}-1=\frac{3}{y-1}\ne 0$. Prin urmare orice $y\ne 1$ este atins.

Răspuns corect: b). Varianta a) nu observă valoarea exclusă. Variantele c), d), e) exclud valori atinse: $f(0)=-2$, $f(-2)=0$, $f(4)=2$. Varianta f) pierde valorile mai mari decât $1$, atinse de exemplu la $f(2)=4$.

Greșeli frecvente

• Greșit: într-un tabel, același argument $2$ primește valoarea $8$ și valoarea $9$, iar tabelul este numit funcție.
  Corect: pentru fiecare argument admis trebuie să existe o singură valoare.
• Greșit: pentru $f(x)=x^2$ pe $\mathbb{R}$, imaginea este considerată egală cu domeniul $\mathbb{R}$.
  Corect: imaginea este $[0;+\infty )$, deoarece un pătrat nu este negativ.
• Greșit: $f(3)$ este citit ca produsul $f\cdot 3$.
  Corect: $f(3)$ este valoarea funcției la argumentul $3$; pentru $f(x)=3x-1$ rezultă $f(3)=8$.
• Greșit: $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ și $g(x)=x+1$ sunt aceeași funcție, pentru că expresia se simplifică.
  Corect: $f$ nu este definită în $x=1$, iar $g$ este definită; domeniile diferă.

Înainte și după

Întrebări frecvente