Funcții trigonometrice inverse

Funcțiile trigonometrice sunt periodice, așa că nu au inversă pe întreg domeniul lor. Le restrângem la intervale unde iau fiecare valoare o singură dată. $\arcsin :[-1;1]\to [-\pi /2;\pi /2]$ dă unghiul al cărui sinus este argumentul; $\arccos :[-1;1]\to [0;\pi ]$ dă unghiul al cărui cosinus este argumentul. $\mathrm{arctg}:\mathbb{R}\to (-\pi /2;\pi /2)$ inversează tangenta restrânsă la intervalul $(-\pi /2;\pi /2)$.

Exemplu rezolvat. Calculează $\arcsin (1/2)$.

1. Căutăm un unghi cu sinusul $1/2$.
2. $\pi /6$ are această proprietate și aparține intervalului $[-\pi /2;\pi /2]$.
3. Deci $\arcsin (1/2)=\pi /6$; $5\pi /6$ nu este valoarea lui $\arcsin$, deși are același sinus.

De ce restricții. Ecuația $\sin x=\frac{1}{2}$ are infinit de multe soluții, deci sinusul nu este injectiv pe $\mathbb{R}$. Pe $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ însă $\sin$ este strict crescătoare și ia fiecare valoare din $[-1;1]$ exact o dată, deci este bijectivă și are inversă. La fel, $\cos :[0;\pi ]\to [-1;1]$ este strict descrescătoare, iar $\mathrm{tg}:\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)\to \mathbb{R}$ este strict crescătoare. Inversele lor sunt:

• $\arcsin x=y$ dacă și numai dacă $\sin y=x$ și $y\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, pentru $x\in [-1;1]$;
• $\arccos x=y$ dacă și numai dacă $\cos y=x$ și $y\in [0;\pi ]$, pentru $x\in [-1;1]$;
• $\mathrm{arctg}x=y$ dacă și numai dacă $\mathrm{tg}y=x$ și $y\in \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, pentru $x\in \mathbb{R}$.

Domeniul unei funcții inverse este imaginea funcției directe restrânse, iar imaginea ei este intervalul de restricție: $\arcsin$ și $\arccos$ au domeniul $[-1;1]$, iar $\mathrm{arctg}$ are domeniul $\mathbb{R}$; imaginile sunt $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, $[0;\pi ]$ și, respectiv, $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$. Valorile lui $\mathrm{arctg}x$ se apropie de $\pm \frac{\pi }{2}$ când $x$ crește sau scade fără margine, dar nu ating aceste valori. Graficele lor sunt simetrice, față de dreapta $y=x$, cu graficele funcțiilor directe restrânse. Funcțiile $\arcsin$ și $\mathrm{arctg}$ sunt strict crescătoare și impare, iar $\arccos$ este strict descrescătoare.

Valori uzuale.

Pentru argumente negative: $\arcsin (-x)=-\arcsin x$ și $\arccos (-x)=\pi -\arccos x$. Pentru tangentă: $\mathrm{arctg}0=0$, $\mathrm{arctg}\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi }{6}$, $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$, $\mathrm{arctg}\sqrt{3}=\frac{\pi }{3}$ și $\mathrm{arctg}(-1)=-\frac{\pi }{4}$.

Compuneri. Egalitatea $\sin (\arcsin x)=x$ are loc pentru $x\in [-1;1]$, dar $\arcsin (\sin x)=x$ are loc numai pentru $x\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$; domeniile sunt diferite. La fel, $\arccos (\cos x)=x$ numai pentru $x\in [0;\pi ]$. Pentru $x\in [-1;1]$, $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$.

Exemplu rezolvat 1. Calculează $\arccos (-1/2)$.

1. Căutăm unghiul din $[0;\pi ]$ cu cosinus $-1/2$.
2. Acesta este $2\pi /3$.
3. Verificăm $\cos (2\pi /3)=-1/2$.

Exemplu rezolvat 2. Calculăm $\arcsin (\sin (5\pi /6))$. Deoarece $5\pi /6$ nu se află în intervalul de valori al lui $\arcsin$, nu îl păstrăm ca rezultat. Mai întâi $\sin (5\pi /6)=1/2$; apoi unghiul din $[-\pi /2;\pi /2]$ cu sinus $1/2$ este $\pi /6$. Rezultatul este $\pi /6$, nu $5\pi /6$.

Exemplu rezolvat 3. Aflăm domeniul și imaginea funcției $f(x)=\arcsin (2x-1)$.

1. Argumentul trebuie să fie în $[-1;1]$: $-1\le 2x-1\le 1$ dă $0\le x\le 1$, deci domeniul este $[0;1]$.
2. Pe domeniu, $2x-1$ ia toate valorile din $[-1;1]$, iar $\arcsin$ le duce în $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$, deci imaginea este $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$.
3. Verificare: $f(0)=\arcsin (-1)=-\frac{\pi }{2}$, $f\left(\frac{1}{2}\right)=\arcsin 0=0$ și $f(1)=\arcsin 1=\frac{\pi }{2}$.

Exemplu rezolvat 4. Calculăm $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

1. $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\pi }{3}$.
2. $\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\pi -\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}=\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$.
3. Suma este $-\frac{\pi }{3}+\frac{5\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$, ca în identitatea $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$.

Exemplu rezolvat 5. Calculăm $\sin \left(\arccos \left(-\frac{3}{5}\right)\right)$ și $\mathrm{tg}\left(\arcsin \frac{3}{5}\right)$.

1. Fie $\gamma =\arccos \left(-\frac{3}{5}\right)\in [0;\pi ]$. Atunci $\sin \gamma \ge 0$, iar $\sin \gamma =\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$.
2. Fie $\alpha =\arcsin \frac{3}{5}\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$. Atunci $\cos \alpha \ge 0$, iar $\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$.
3. $\mathrm{tg}\alpha =\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}$.

Exemplu rezolvat 6. Comparăm $\arcsin 0,3$ cu $\arccos 0,3$. Din $\arccos x=\frac{\pi }{2}-\arcsin x$ rezultă că $\arccos 0,3>\arcsin 0,3$ dacă și numai dacă $\arcsin 0,3<\frac{\pi }{4}$. Cum $0,3<\frac{\sqrt{2}}{2}=\sin \frac{\pi }{4}$ și $\arcsin$ este crescătoare, $\arcsin 0,3<\frac{\pi }{4}$. Deci $\arcsin 0,3<\arccos 0,3$; valorile sunt aproximativ $0,305$ și $1,266$.

Relații. $\arcsin (-x)=-\arcsin x$; $\mathrm{arctg}(-x)=-\mathrm{arctg}x$; $\arccos (-x)=\pi -\arccos x$; $\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$; $\mathrm{arctg}x+\mathrm{arctg}\frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$ pentru $x>0$. Funcția $\mathrm{arcctg}:\mathbb{R}\to (0;\pi )$ verifică $\mathrm{arctg}x+\mathrm{arcctg}x=\frac{\pi }{2}$.

Valori compuse. $\cos (\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$ și $\sin (\arccos x)=\sqrt{1-x^2}$, cu rădăcină pozitivă, deoarece $\arcsin x\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ are cosinus $\ge 0$, iar $\arccos x\in [0;\pi ]$ are sinus $\ge 0$. Exemplu: pentru $\alpha =\arcsin \frac{3}{5}$ ($\cos \alpha =\frac{4}{5}$) și $\beta =\arccos \frac{5}{13}$ ($\sin \beta =\frac{12}{13}$), $\cos (\alpha -\beta )=\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{13}+\frac{3}{5}\cdot \frac{12}{13}=\frac{56}{65}$. Alte compuneri: $\arccos \left(\cos \frac{4\pi }{3}\right)=\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{2\pi }{3}$ și $\mathrm{arctg}\left(\mathrm{tg}\frac{3\pi }{4}\right)=\mathrm{arctg}(-1)=-\frac{\pi }{4}$.

Ecuații. $\sin x=a$ are soluțiile $x=(-1{)}^k\arcsin a+k\pi$; $\cos x=a$ are $x=\pm \arccos a+2k\pi$; $\mathrm{tg}x=a$ are $x=\mathrm{arctg}a+k\pi$, cu $k\in \mathbb{Z}$. De exemplu, $\mathrm{tg}x=\sqrt{3}$ are soluțiile $x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, iar $\sin x=\frac{1}{2}$ are $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+k\pi$, adică, pentru $k=0;1;2$, valorile $\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{6};\frac{13\pi }{6}$. Pe un interval pe care funcția este bijectivă soluția este unică: pentru $x\in [0;\pi ]$, ecuația $\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ are numai soluția $x=\arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{3\pi }{4}$.

Problemă rezolvată. Valoarea expresiei $E=\mathrm{arctg}2+\mathrm{arctg}3$ este:

a) $\mathrm{arctg}5$ b) $-\frac{\pi }{4}$ c) $\frac{\pi }{4}$ d) $\frac{3\pi }{4}$ e) $\frac{5\pi }{4}$ f) $\frac{\pi }{2}$

1. Fiecare termen este în $\left(\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{2}\right)$, fiindcă $2>1$ și $3>1$. Deci $E\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$.
2. $\mathrm{tg}E=\frac{2+3}{1-2\cdot 3}=-1$.
3. În $\left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$ tangenta este egală cu $-1$ numai la $\frac{3\pi }{4}$. Deci $E=\frac{3\pi }{4}$.

Răspuns corect: d). Variantele greșite: a) adună argumentele, $\mathrm{arctg}(2+3)$; b) aplică formula $\mathrm{arctg}\frac{a+b}{1-ab}$ fără corecția $+\pi$, necesară pentru $ab>1$; c) ignoră semnul minus din $\mathrm{tg}E=-1$; e) pornește de la $\frac{\pi }{4}$ (cu semnul greșit) și adaugă $\pi$; f) aplică greșit relația $\mathrm{arctg}x+\mathrm{arctg}\frac{1}{x}=\frac{\pi }{2}$, deși $3\ne \frac{1}{2}$.

Rădăcini străine. Pentru $\mathrm{arctg}x+\mathrm{arctg}2x=\frac{\pi }{4}$ se aplică tangenta: $\frac{3x}{1-2x^2}=1$, deci $2x^2+3x-1=0$, $x=\frac{-3\pm \sqrt{17}}{4}$. Numai $x=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}\approx 0,281$ convine; pentru cealaltă rădăcină suma arctangentelor este $-\frac{3\pi }{4}$, deși tangenta ei este tot $1$. Rădăcinile se verifică în ecuația inițială.

Greșeli frecvente

• Greșit: $\arcsin x=1/\sin x$.
  Corect: arcsinusul este funcția inversă a sinusului restrâns.
• Greșit: $\arcsin (\sin (5\pi /6))=5\pi /6$.
  Corect: valoarea principală aparține intervalului $[-\pi /2;\pi /2]$ și este $\pi /6$.
• Greșit: $\arccos (-1/2)$ este $-2\pi /3$.
  Corect: valoarea trebuie să fie în $[0;\pi ]$, deci $2\pi /3$.
• Greșit: $\arcsin 2$ există și este mai mare decât $\frac{\pi }{2}$.
  Corect: $\arcsin$ este definit numai pe $[-1;1]$, deci $\arcsin 2$ nu există.
• Greșit: $\arccos (-x)=-\arccos x$, ca la arcsinus.
  Corect: $\arccos (-x)=\pi -\arccos x$; de exemplu $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$.

Înainte și după

Întrebări frecvente