Funcția radical

Funcția radical de ordin $n$ este $f(x)=\sqrt[n]{x}$, cu $n\ge 2$. Pentru $n$ par, domeniul este $[0;+\infty )$ și valorile sunt nenegative; pentru $n$ impar, domeniul este $\mathbb{R}$. Funcția $f(x)=\sqrt{x}$ are graficul care pornește din $(0;0)$ și trece prin $(1;1)$ și $(4;2)$. Este strict crescătoare: din $0\le x_1<x_2$ rezultă $\sqrt{x_1}<\sqrt{x_2}$. Radicalul de ordin impar, cum este $\sqrt[3]{x}$, este definit și pentru numere negative: $\sqrt[3]{-8}=-2$. Radicalul de ordin par păstrează ordinea numerelor nenegative: $\sqrt{9}<\sqrt{16}$, deci $3<4$. Domeniul unei expresii cu radical de ordin par se află punând condiția ca radicandul să fie pozitiv sau nul.

Exemplu rezolvat. Pentru $g(x)=\sqrt{x-2}+1$:

1. Cerem $x-2\ge 0$, deci domeniul este $[2;+\infty )$.
2. La $x=2$, $g(2)=1$.
3. Deoarece radicalul este nenegativ, $g(x)\ge 1$. Orice $y\ge 1$ se obține pentru $x=(y-1{)}^2+2$, deci imaginea este $[1;+\infty )$.

Radical de ordin par ($n=2k$): $f:[0;+\infty )\to [0;+\infty )$, $f(x)=\sqrt[n]{x}$, este strict crescătoare și bijectivă; inversa ei este $x^n$ pe $[0;+\infty )$. Radical de ordin impar ($n=2k+1$): $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este impară, strict crescătoare și bijectivă; inversa este $x^n$ pe $\mathbb{R}$. Graficul radicalului este simetricul graficului funcției putere față de dreapta $y=x$.

Pentru $x$ din domeniu, ${\left(\sqrt[n]{x}\right)}^n=x$. În sens invers, $\sqrt[n]{x^n}=x$ pentru $n$ impar, dar $\sqrt[n]{x^n}=|x|$ pentru $n$ par: $\sqrt{(-3{)}^2}=3$. Pentru o expresie $\sqrt[2k]{u(x)}$ se cere $u(x)\ge 0$, iar pentru $\sqrt[2k+1]{u(x)}$ se cere numai ca $u(x)$ să existe. Graficul lui $\sqrt{x-h}+k$ se obține din cel al lui $\sqrt{x}$ prin deplasare cu $h$ unități pe orizontală și $k$ pe verticală; domeniul este $[h;+\infty )$.

Exemplu rezolvat 1. Domeniul și imaginea funcției $h(x)=\sqrt{x^2-4}$:

1. Cerem $x^2-4\ge 0$, adică $(x-2)(x+2)\ge 0$, deci $x\in (-\infty ;-2]\cup [2;+\infty )$.
2. Radicalul este nenegativ, deci $h(x)\ge 0$, iar $h(\pm 2)=0$.
3. Orice $y\ge 0$ este atins pentru $x=\sqrt{y^2+4}$, deoarece $h(x)=\sqrt{y^2}=y$. Imaginea este $[0;+\infty )$.

Exemplu rezolvat 2. Funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt[3]{x-1}+2$ este bijectivă.

1. Radicalul de ordin $3$ este strict crescător, deci și $f$ este strict crescătoare, deci injectivă.
2. Din $y=\sqrt[3]{x-1}+2$ rezultă $(y-2{)}^3=x-1$, deci $x=(y-2{)}^3+1$, definit pentru orice $y$; $f$ este surjectivă.
3. $f^{-1}(y)=(y-2{)}^3+1$; verificare: $f(2)=\sqrt[3]{1}+2=3$ și $f^{-1}(3)=1+1=2$.

Exemplu rezolvat 3. Comparații și domenii.

1. Pentru $\sqrt[3]{-9}$ și $-2=\sqrt[3]{-8}$: din $-9<-8$ și creșterea radicalului rezultă $\sqrt[3]{-9}<-2$.
2. Pentru $g(x)=\sqrt{5-2x}$ cerem $5-2x\ge 0$, deci $x\le \frac{5}{2}$ și domeniul este $\left(-\infty ;\frac{5}{2}\right]$. Aici $g(0)=\sqrt{5}$ și $g(2)=1$.
3. Radicandul scade când $x$ crește, deci $g$ este strict descrescătoare; $\left(\frac{5}{2};0\right)$ este punctul în care graficul atinge axa $Ox$.

Exemplu rezolvat 4. Funcția $p(x)=\sqrt{9-x^2}$ are domeniul $[-3;3]$.

1. Din $9-x^2\ge 0$ rezultă $x^2\le 9$, deci $-3\le x\le 3$.
2. Valoarea maximă este $p(0)=3$, iar valoarea minimă este $p(\pm 3)=0$.
3. Pentru $y\in [0;3]$, ecuația $\sqrt{9-x^2}=y$ are soluțiile $x=\pm \sqrt{9-y^2}$, deci imaginea este $[0;3]$.

Exemplu rezolvat 5. Ecuații simple cu radical, în funcție de ordin.

1. Pentru $\sqrt{x+3}=2$, domeniul este $x\ge -3$; ridicarea la pătrat dă $x+3=4$, deci $x=1$, care respectă domeniul.
2. Pentru $\sqrt[3]{2x-1}=3$ nu există restricție de domeniu; ridicarea la cub dă $2x-1=27$, deci $x=14$.
3. Pentru $\sqrt{x+3}=-2$ nu există soluții, pentru că un radical de ordin par este nenegativ, în timp ce $\sqrt[3]{x+3}=-2$ are soluția $x=-11$.

Punctele $(4;2)$ de pe graficul lui $\sqrt{x}$ și $(2;4)$ de pe graficul lui $x^2$ sunt simetrice față de dreapta $y=x$, ca toate perechile de puncte ale celor două grafice pe $[0;+\infty )$.

Monotonia lui $\sqrt{u(x)}$ urmează monotonia lui $u(x)$ pe domeniu, fiindcă radicalul este strict crescător: $\sqrt{9-x^2}$ crește pe $[-3;0]$, unde $9-x^2$ crește, și scade pe $[0;3]$. Inecuația $\sqrt{x+1}<3$ cere $x\ge -1$ și, prin creșterea radicalului, $x+1<9$; soluția este $[-1;8)$.

Pentru ecuațiile care conțin radicali și pentru rezolvarea lor pe domeniu, vezi lecția Ecuații cu radicali.

Domeniul funcției radical și imaginea ei apar în enunțuri sub forma „cea mai mică valoare” sau „domeniul maxim”. La o ecuație cu radical de ordin $2$, membrul fără radical trebuie să fie nenegativ înainte de ridicarea la pătrat. După ridicare se verifică fiecare candidat în ecuația inițială.

Problema 1. Soluția reală a ecuației $\sqrt{3x+4}=x$ este:

a) $-1$ b) $0$ c) $1$ d) $3$ e) $4$ f) $-1$ și $4$

1. Cerem $3x+4\ge 0$ și $x\ge 0$ (membrul drept este egal cu o valoare a radicalului), deci $x\ge 0$.
2. Prin ridicare la pătrat, $3x+4=x^2$, adică $x^2-3x-4=0$, cu soluțiile $x=4$ și $x=-1$.
3. Numai $x=4$ verifică $x\ge 0$; într-adevăr $\sqrt{3\cdot 4+4}=\sqrt{16}=4$.

Răspuns corect: e). Variantele a) și f) păstrează candidatul $-1$, care nu verifică ecuația: $\sqrt{3\cdot (-1)+4}=1\ne -1$. Valorile din b), c), d) nu verifică ecuația: $\sqrt{4}=2\ne 0$, $\sqrt{7}\ne 1$, $\sqrt{13}\ne 3$.

Problema 2. Rezolvăm $\sqrt{2x+3}=x+1$. Cerem $2x+3\ge 0$ și $x+1\ge 0$, deci $x\ge -1$. Ridicăm la pătrat: $2x+3=x^2+2x+1$, adică $x^2=2$ și $x=\pm \sqrt{2}$. Numai $\sqrt{2}\ge -1$ convine, iar $-\sqrt{2}\approx -1,41<-1$ este respins. Verificare: ${\left(1+\sqrt{2}\right)}^2=3+2\sqrt{2}$, deci $\sqrt{2\sqrt{2}+3}=1+\sqrt{2}$.

Problema 3. Domeniul maxim al funcției $f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}$ se află din cele două condiții cerute simultan: $x\ge 1$ și $x\le 5$. Domeniul este $[1;5]$. Valorile la capete sunt $f(1)=2$ și $f(5)=2$, iar la mijloc $f(3)=2\sqrt{2}\approx 2,83$, mai mare decât la capete.

Problema 4. Cea mai mică valoare a funcției $f(x)=\sqrt{x^2+9}$ este $3$, atinsă în $x=0$, fiindcă $x^2+9\ge 9$ pentru orice $x$ și radicalul este strict crescător.

Greșeli frecvente

• Greșit: din $\sqrt{x+2}=x$ se păstrează după ridicarea la pătrat și candidatul $x=-1$.
  Corect: membrul drept cere $x\ge 0$; din $x+2=x^2$ rezultă candidații $-1$ și $2$, dar numai $x=2$ verifică ecuația inițială.
• Greșit: pentru $g(x)=\sqrt{x-2}+1$ se scrie imaginea $[0;+\infty )$.
  Corect: valoarea minimă este $g(2)=1$, deci imaginea este $[1;+\infty )$.
• Greșit: $\sqrt[3]{-8}$ nu este un număr real.
  Corect: $\sqrt[3]{-8}=-2$, pentru că $(-2{)}^3=-8$.
• Greșit: $\sqrt{x^2}=x$ pentru orice $x$.
  Corect: $\sqrt{x^2}=|x|$; la $x=-3$ se obține $\sqrt{9}=3$, nu $-3$.

Înainte și după