Funcția exponențială

Funcția exponențială este $f(x)=a^x$, cu $a>0$ și $a\ne 1$. Este definită pentru orice real $x$ și are numai valori pozitive. Graficul trece prin $(0;1)$, deoarece $a^0=1$, și prin $(1;a)$, și nu întâlnește axa $Ox$. Pentru $a>1$ este strict crescătoare; pentru $0<a<1$ este strict descrescătoare.

La $x=-2;-1;0;1;2$, funcția $2^x$ ia valorile $\frac{1}{4};\frac{1}{2};1;2;4$, iar funcția ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ le ia în ordine inversă: $4;2;1;\frac{1}{2};\frac{1}{4}$.

Exemplu rezolvat. Pentru $f(x)=2^x$:

1. $f(-1)=1/2$, $f(0)=1$, $f(1)=2$.
2. Valorile cresc odată cu intrarea.
3. Ecuația $f(x)=8$ devine $2^x=2^3$, deci $x=3$.

Condițiile asupra bazei. Baza trebuie să fie pozitivă, fiindcă pentru $a<0$ puterea $a^{1/2}$ nu există în $\mathbb{R}$. Baza $a=1$ se exclude, deoarece $1^x=1$ este funcția constantă. Regulile puterilor rămân valabile pentru orice exponenți reali: $a^{x+y}=a^x{a}^y$, $a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y}$, $(a^x{)}^y=a^{xy}$ și $(ab{)}^x=a^x{b}^x$ pentru $b>0$.

Exponent irațional. Pentru $x$ irațional, $a^x$ este numărul de care se apropie puterile $a^r$, cu $r$ rațional din ce în ce mai apropiat de $x$. De exemplu, $2^{\sqrt{2}}\approx 2,665$ se află între $2^{1,4}\approx 2,639$ și $2^{1,5}\approx 2,828$, fiindcă $1,4<\sqrt{2}<1,5$.

Monotonie. Pentru $a>1$, din $u<v$ rezultă $a^u<a^v$; pentru $0<a<1$, din $u<v$ rezultă $a^u>a^v$. Prin urmare $a^u=a^v$ dacă și numai dacă $u=v$, deci funcția este injectivă. Cum ia orice valoare din $(0;+\infty )$, este bijectivă de la $\mathbb{R}$ la $(0;+\infty )$, iar inversa ei este ${\log }_{a}x$ (vezi lecția Funcția logaritmică).

Graficul. Punctele $\left(-1;\frac{1}{a}\right)$, $(0;1)$ și $(1;a)$ aparțin graficului. Axa $Ox$ este asimptotă orizontală: valorile se apropie oricât de mult de $0$ când $x\to -\infty$ pentru $a>1$, respectiv când $x\to +\infty$ pentru $0<a<1$. Deoarece ${\left(\frac{1}{a}\right)}^x=a^{-x}$, graficele lui $a^x$ și ${\left(\frac{1}{a}\right)}^x$ sunt simetrice față de $Oy$. Graficul lui $a^{x+b}+d$ se obține din cel al lui $a^x$ prin translație cu $b$ unități la stânga și cu $d$ în sus; asimptota devine $y=d$, iar imaginea $(d;+\infty )$.

Poziția față de 1. Pentru $a>1$: $a^x>1$ dacă $x>0$ și $0<a^x<1$ dacă $x<0$. Pentru $0<a<1$ situațiile se inversează. De exemplu, ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=8>1$, dar ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}<1$. Așadar un număr de forma $a^x$ se compară cu $1$ după semnul exponentului, fără calcul. Pentru baze mai mari ca $1$, graficele se ordonează diferit de o parte și de alta a axei $Oy$: $3^x>2^x$ pentru $x>0$, dar $3^x<2^x$ pentru $x<0$, de exemplu $3^{-1}=\frac{1}{3}<\frac{1}{2}=2^{-1}$.

Exemplu rezolvat 1. Compară $A={\left(\frac{1}{3}\right)}^{\sqrt{2}}$ și $B={\left(\frac{1}{3}\right)}^{3/2}$.

1. Baza $\frac{1}{3}$ este în $(0;1)$, deci funcția ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ este descrescătoare.
2. Exponenții se compară astfel: $\sqrt{2}<\frac{3}{2}$, fiindcă $2<\frac{9}{4}$.
3. Funcția descrește, deci $A>B$. Verificare numerică: $A\approx 0,211$ și $B\approx 0,192$.

Exemplu rezolvat 2. Studiem $f(x)=2^{x+1}-4$.

1. Intersecția cu $Oy$: $f(0)=2-4=-2$, deci punctul $(0;-2)$.
2. Intersecția cu $Ox$: $2^{x+1}=4=2^2$ dă $x=1$, deci punctul $(1;0)$.
3. Baza $2>1$, deci funcția crește. Asimptota este $y=-4$, iar imaginea este $(-4;+\infty )$.

Exemplu rezolvat 3. Graficul funcției $f(x)=a^x$ trece prin punctul $(2;9)$. Aflăm $a$ și $f(-1)$.

1. Punctul aparține graficului, deci $a^2=9$. Cum $a>0$, rezultă $a=3$; valoarea $-3$ nu convine.
2. $f(-1)=3^{-1}=\frac{1}{3}$.

Exemplu rezolvat 4. Comparăm $2^{30}$ și $3^{20}$. Bazele și exponenții sunt diferiți, deci aducem numerele la același exponent.

1. $2^{30}=(2^3{)}^{10}=8^{10}$.
2. $3^{20}=(3^2{)}^{10}=9^{10}$.
3. Funcția $y\mapsto y^{10}$ crește pe $(0;+\infty )$ și $8<9$, deci $2^{30}<3^{20}$. Valorile sunt $1073741824$ și $3486784401$.

Exemplu rezolvat 5. O sumă de $1000$ lei, depusă cu dobândă compusă de $5\%$ pe an, ajunge după $n$ ani la $S(n)=1000\cdot 1,05^n$. Aceasta este o funcție exponențială de bază $1,05>1$, deci crește. După $3$ ani, $S(3)=1000\cdot 1,05^3=1157,625$ lei; după $10$ ani, $S(10)\approx 1628,89$ lei.

Problemele cer comparări de puteri, mulțimea valorilor și monotonia unei funcții de forma $a^{g(x)}$. Pentru $a>1$, funcția $a^{g(x)}$ are monotonia lui $g$, iar pentru $0<a<1$ monotonia opusă. Dacă $g$ ia valorile din $[p;+\infty )$ și $a>1$, atunci $a^{g(x)}$ ia valorile din $[a^p;+\infty )$. Dacă $g(x)=-x^2$ ia valorile din $(-\infty ;0]$ și $a>1$, imaginea lui $a^{g(x)}$ este $(0;a^0]=(0;1]$. Egalitatea $a^u=a^v$ se reduce la $u=v$, iar inegalitatea $a^u<a^v$ la $u<v$ pentru $a>1$ și la $u>v$ pentru $0<a<1$ (vezi și lecția Ecuații exponențiale).

Problemă rezolvată. Mulțimea valorilor funcției $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2^{x^2-4x+3}$, este:

a) $(0;+\infty )$ b) $[-1;+\infty )$ c) $[2;+\infty )$ d) $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$ e) $\left[\frac{1}{2};+\infty \right)$ f) $[8;+\infty )$

1. Exponentul este $x^2-4x+3=(x-2{)}^2-1$, deci ia toate valorile din $[-1;+\infty )$; minimul $-1$ se atinge la $x=2$.
2. Baza $2>1$, deci $f(x)\ge 2^{-1}=\frac{1}{2}$, cu egalitate la $x=2$.
3. Pe $[-1;+\infty )$ funcția $2^t$ ia orice valoare din $\left[\frac{1}{2};+\infty \right)$, fiindcă graficul lui $2^t$ nu are întreruperi și crește fără margine.
4. Verificare: $f(2)=2^{4-8+3}=2^{-1}=\frac{1}{2}$, iar $f(0)=8$ și $f(3)=2^0=1$ se află în mulțimea găsită.

Răspuns corect: e). Variantele greșite: a) este imaginea lui $2^t$ pe tot $\mathbb{R}$, fără restricția exponentului; b) este mulțimea valorilor exponentului, nu a lui $f$; c) vine din $(x-2{)}^2+1$, cu semnul termenului liber greșit, deci minim $2^1=2$; d) exclude $\frac{1}{2}$, deși valoarea se atinge la $x=2$; f) ia $f(0)=2^3=8$ drept valoare minimă. Dacă baza ar fi $\frac{1}{2}$, același exponent ar da o funcție descrescătoare în exponent: maximul ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}=2$ se atinge la $x=2$, iar mulțimea valorilor ar fi $(0;2]$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $a^x$ poate fi zero pentru un exponent real.
  Corect: este strict pozitiv când $a>0$.
• Greșit: $a^0=0$.
  Corect: $a^0=1$ pentru baza admisă.
• Greșit: la $0<a<1$ funcția crește.
  Corect: este descrescătoare.
• Greșit: $2^x\cdot 3^x=6^{2x}$.
  Corect: $(ab{)}^x=a^x{b}^x$, deci $2^x\cdot 3^x=6^x$.
• Greșit: $(-2{)}^x$ este o funcție exponențială.
  Corect: baza trebuie să fie pozitivă; $(-2{)}^{1/2}$ nu există în $\mathbb{R}$.
• Greșit: graficul lui $2^x-4$ are asimptota $y=0$.
  Corect: translația cu $4$ unități în jos aduce asimptota la $y=-4$.

Înainte și după