Funcția putere

O funcție putere are forma $f(x)=x^{\alpha }$, iar exponentul $\alpha$ hotărăște domeniul și forma graficului. Pentru $\alpha =n\in \mathbb{N}$, $n\ge 2$, domeniul este $\mathbb{R}$. Pentru exponent întreg negativ, $x^{-n}=\frac{1}{x^n}$, domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Pentru exponent rațional neîntreg, $x^{m/n}=\sqrt[n]{x^m}$ cu $x>0$; când exponentul este pozitiv se adaugă și $x=0$, cu $0^{m/n}=0$. Toate graficele $x^{\alpha }$ trec prin punctul $(1;1)$, pentru că $1^{\alpha }=1$. Pentru $\alpha >0$ funcția crește pe $(0;+\infty )$, iar pentru $\alpha <0$ scade: $x^2$ ia valorile $1;4;9$ la $x=1;2;3$, iar $x^{-2}$ ia valorile $1;\frac{1}{4};\frac{1}{9}$.

Exemplu rezolvat. Compară $f(x)=x^2$ și $g(x)=x^{-2}$.

1. $f(2)=4$ și $g(2)=\frac{1}{4}$.
2. $f(0)=0$, dar $g(0)$ nu există, fiindcă ar cere împărțire la zero.
3. Domeniile sunt $\mathbb{R}$, respectiv $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

Exponent natural $n\ge 2$. Domeniul este $\mathbb{R}$ și graficul trece prin $(0;0)$ și $(1;1)$. Dacă $n$ este par, funcția este pară (graficul este simetric față de $Oy$), are imaginea $[0;+\infty )$, este strict descrescătoare pe $(-\infty ;0]$, strict crescătoare pe $[0;+\infty )$ și are minimul $0$ în $x=0$. Dacă $n$ este impar, funcția este impară (graficul este simetric față de origine), are imaginea $\mathbb{R}$ și este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$, deci bijectivă.

Exponent întreg negativ $-n$. Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Pentru $n$ par, $x^{-n}>0$ pentru orice $x\ne 0$, funcția este pară, crește pe $(-\infty ;0)$ și scade pe $(0;+\infty )$, iar imaginea este $(0;+\infty )$. Pentru $n$ impar, funcția este impară, scade pe fiecare dintre $(-\infty ;0)$ și $(0;+\infty )$, iar imaginea este $\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Nu se poate spune că scade pe întreg domeniul.

Exponent rațional. Fie $\alpha =\frac{m}{n}$ în formă ireductibilă, cu $n\ge 2$. Puterea $x^{m/n}=\sqrt[n]{x^m}$ se definește pentru $x>0$; pentru $\alpha >0$ se adaugă și $x=0$, cu $0^{\alpha }=0$. Pe $(0;+\infty )$ funcția este strict crescătoare dacă $\alpha >0$ și strict descrescătoare dacă $\alpha <0$. Pentru $x>1$, o putere mai mare dă o valoare mai mare, iar pentru $0<x<1$ ordinea se inversează.

Exemplu rezolvat 1. Pentru $f(x)=x^{-4}$:

1. Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, iar $f(-2)=\frac{1}{(-2{)}^4}=\frac{1}{16}=f(2)$.
2. Funcția este pară, deci $f(-x)=f(x)$; valorile sunt strict pozitive, iar imaginea este $(0;+\infty )$.
3. Pe $(0;+\infty )$ funcția este strict descrescătoare: $f(1)=1>\frac{1}{16}=f(2)$.

Exemplu rezolvat 2. Ordonăm numerele $x^2$, $x^{1/2}$, $x$ și $x^{-1}$ pentru $x=\frac{1}{4}$ și pentru $x=4$.

1. Pentru $x=\frac{1}{4}$: $x^2=\frac{1}{16}$, $x^{1/2}=\frac{1}{2}$, $x=\frac{1}{4}$, $x^{-1}=4$, deci $x^2<x<x^{1/2}<x^{-1}$.
2. Pentru $x=4$: $x^{-1}=\frac{1}{4}$, $x^{1/2}=2$, $x=4$, $x^2=16$, deci $x^{-1}<x^{1/2}<x<x^2$.
3. Ordinea se inversează, fiindcă $\frac{1}{4}\in (0;1)$, iar $4\in (1;+\infty )$.

Exemplu rezolvat 3. Rezolvăm ecuațiile $x^{3/2}=8$ și $x^{-2}=\frac{1}{9}$.

1. În prima, $x>0$ și $x=8^{2/3}=(\sqrt[3]{8}{)}^2=4$; verificare: $4^{3/2}=(\sqrt{4}{)}^3=8$.
2. A doua devine $x^2=9$, deci $x=\pm 3$, ambele în domeniul $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.
3. Prima ecuație are o singură soluție, a doua are două: exponentul rațional restrânge domeniul la $x>0$.

Exemplu rezolvat 4. Fie $h(x)=x^{-3}$.

1. Domeniul este $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, iar $h$ este impară: $h(-2)=-\frac{1}{8}$ și $h(2)=\frac{1}{8}$.
2. Pe $(0;+\infty )$ funcția scade: $h(1)=1>\frac{1}{8}=h(2)$. La fel, pe $(-\infty ;0)$: $h(-2)=-\frac{1}{8}>-1=h(-1)$.
3. Pe tot domeniul nu scade, pentru că $-2<2$, dar $h(-2)<h(2)$. Imaginea este $\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

Exemplu rezolvat 5. Rezolvăm inecuația $x^4<16$ pe $\mathbb{R}$.

1. Scriem $x^4<2^4$.
2. Pe $[0;+\infty )$, funcția $x^4$ este strict crescătoare, deci $x^4<2^4$ dă $x<2$, adică $x\in [0;2)$.
3. Funcția este pară, deci soluțiile sunt simetrice față de $0$: $x\in (-2;2)$. Verificare: $x=-1,5$ dă $5,0625<16$, iar $x=-3$ dă $81>16$.

La grafice, diferența dintre parități se vede imediat: pentru $n$ par, graficul lui $x^n$ are forma literei „U" și rămâne deasupra axei $Ox$, iar pentru $n$ impar trece din cadranul al treilea în cadranul întâi. Pe intervalul $(0;1)$ graficul lui $x^3$ este sub cel al lui $x^2$, iar pe $(1;+\infty )$ este deasupra.

Pentru radical ca funcție de sine stătătoare, vezi lecția Funcția radical.

Problemele cer calculul unor puteri cu exponent rațional și domeniul unei puteri. Se aplică $a^{-r}=\frac{1}{a^r}$ și $a^{m/n}=(\sqrt[n]{a}{)}^m$, pentru $a>0$. Semnul exponentului nu schimbă semnul rezultatului: pentru $a>0$, $a^{-r}$ rămâne pozitiv, doar inversează valoarea. Pentru $\alpha <0$ funcția $x^{\alpha }$ nu ia niciodată valoarea $0$, iar pentru $\alpha >0$ o ia în $x=0$.

Problema 1. Valoarea expresiei $E={\left(\frac{1}{8}\right)}^{-\frac{2}{3}}+16^{\frac{3}{4}}$ este:

a) $4$ b) $\frac{33}{4}$ c) $12$ d) $\frac{40}{3}$ e) $16$ f) $20$

1. ${\left(\frac{1}{8}\right)}^{-\frac{2}{3}}=8^{\frac{2}{3}}=(\sqrt[3]{8}{)}^2=2^2=4$.
2. $16^{\frac{3}{4}}=(\sqrt[4]{16}{)}^3=2^3=8$.
3. $E=4+8=12$.

Răspuns corect: c). Variantele greșite: a) $4$ este numai primul termen; b) $\frac{33}{4}=\frac{1}{4}+8$ ignoră semnul minus al exponentului; d) $\frac{40}{3}=\frac{16}{3}+8$ calculează $8^{2/3}$ ca $8\cdot \frac{2}{3}$; e) $16=4+12$ calculează $16^{3/4}$ ca $16\cdot \frac{3}{4}$; f) $20=4+16$ ia $16^{3/4}$ egal cu $16$.

Problema 2. Graficul funcției $f(x)=x^a$ trece prin punctul $P\left(4;\frac{1}{2}\right)$. Valoarea lui $a$ este:

a) $-2$ b) $-\frac{1}{2}$ c) $\frac{1}{2}$ d) $2$ e) $-\frac{1}{4}$ f) $\frac{1}{4}$

1. Punctul aparține graficului dacă și numai dacă $4^a=\frac{1}{2}$.
2. Scriem $4^a=2^{2a}$ și $\frac{1}{2}=2^{-1}$, deci $2a=-1$.
3. Rezultă $a=-\frac{1}{2}$; verificare: $4^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}$.

Răspuns corect: b). Celelalte variante dau altă valoare în $x=4$: pentru a) $4^{-2}=\frac{1}{16}$; pentru c) $4^{1/2}=2$; pentru d) $4^2=16$; pentru e) $4^{-1/4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$; pentru f) $4^{1/4}=\sqrt{2}$.

Problema 3. Domeniul maxim al funcției $f(x)=(x-2{)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x-2}}$ este $(2;+\infty )$: baza $x-2$ trebuie să fie pozitivă, iar exponentul negativ exclude și $x=2$. Pentru $g(x)=(x-2{)}^{\frac{1}{2}}$, domeniul este $[2;+\infty )$. Ecuația $(x-2{)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$ înseamnă $\sqrt{x-2}=2$, deci $x-2=4$ și $x=6$; verificare: $(6-2{)}^{-1/2}=\frac{1}{2}$. Ecuația $x^{-2}=x^4$ cere $x\ne 0$, se reduce la $x^6=1$ și are soluțiile $x=\pm 1$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $x^{-1}$ este definită la $x=0$.
  Corect: $x^{-1}=\frac{1}{x}$ cere $x\ne 0$.
• Greșit: $(-8{)}^{1/3}=-2$.
  Corect: puterea cu exponent rațional neîntreg se definește numai pentru baza pozitivă; valoarea $-2$ este $\sqrt[3]{-8}$, o notație cu radical.
• Greșit: $x^2$ este strict crescătoare pe $\mathbb{R}$.
  Corect: monotonia se schimbă la zero: $x^2$ scade pe $(-\infty ;0]$ și crește pe $[0;+\infty )$.
• Greșit: $x^{-2}$ are valori negative pentru $x<0$.
  Corect: $x^{-2}=\frac{1}{x^2}>0$ pentru orice $x\ne 0$; de exemplu $(-2{)}^{-2}=\frac{1}{4}$.

Înainte și după