Funcția afină

O funcție afină are forma $f(x)=ax+b$, cu $a$ și $b$ numere reale, definită pe o mulțime finită sau pe un interval. Numărul $b$ este valoarea funcției la argumentul zero: $f(0)=b$. Numărul $a$ arată cu cât se schimbă valoarea funcției când $x$ crește cu o unitate. Pentru $f(x)=2x+3$ și $x=0;1;2$ obținem valorile $3;5;7$, care cresc de fiecare dată cu $2$.

Graficul pe $\mathbb{R}$ este o dreaptă, pe un interval este un segment sau o semidreaptă, iar pe o mulțime finită sunt puncte izolate. O dreaptă se desenează prin două puncte distincte, de pildă $(0;b)$ și $(1;a+b)$. Dacă $a>0$, funcția crește; dacă $a<0$, scade; dacă $a=0$, este constantă. Funcția $f(x)=ax$ din lecția Funcția liniară este cazul $b=0$, când dreapta trece prin origine.

Intersecția cu axa $Oy$ este punctul $(0;b)$. Pentru intersecția cu axa $Ox$ se rezolvă ecuația $ax+b=0$, care pentru $a\ne 0$ are soluția $x=-\frac{b}{a}$. Graficele a două funcții afine se intersectează într-un punct dacă abscisa verifică $ax+b=cx+d$, adică dacă perechea $(x;y)$ este soluția sistemului format din cele două ecuații. O funcție afină se recunoaște dintr-un tabel: dacă la creșteri egale ale lui $x$ valorile cresc cu aceeași cantitate, tabelul vine dintr-o funcție afină. Pentru $x=1;2;3;4$ și valorile $5;8;11;14$, diferențele sunt $3;3;3$, deci $a=3$, iar din $3\cdot 1+b=5$ rezultă $b=2$. Trei puncte sunt coliniare dacă se află pe aceeași dreaptă. Pentru a verifica, se află funcția dată de primele două puncte și se vede dacă al treilea punct o verifică.

Exemplu rezolvat 1. Pentru $f(x)=2x+3$, găsește intersecțiile cu axele.

1. La $x=0$, $f(0)=3$, deci punctul $(0;3)$.
2. Pentru axa orizontală punem $f(x)=0$: $2x+3=0$.
3. Rezultă $x=-\frac{3}{2}$, deci punctul $\left(-\frac{3}{2};0\right)$.

Exemplu rezolvat 2. Află funcția afină al cărei grafic trece prin $A(1;5)$ și $B(2;7)$, apoi verifică dacă $C(4;11)$ și $D(5;12)$ sunt pe aceeași dreaptă cu ele.

1. Din $f(1)=5$ și $f(2)=7$ obținem sistemul $a+b=5$, $2a+b=7$. Scădem prima ecuație din a doua: $a=2$, apoi $b=3$. Funcția este $f(x)=2x+3$.
2. $f(4)=11$, deci $C$ este pe dreapta $AB$.
3. $f(5)=13\ne 12$, deci $D$ nu este pe dreaptă.

Pentru dreapta prin $(x_1;y_1)$ și $(x_2;y_2)$, cu $x_1\ne x_2$, panta este $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ și $b=y_1-a{x}_1$. Raportul nu depinde de perechea aleasă, fiindcă $f(x_2)-f(x_1)=a(x_2-x_1)$ pentru orice $x_1,x_2$. Reciproc, o funcție pentru care raportul este același pentru orice pereche $x_1\ne x_2$ este afină. De aceea, în tabelul de valori, când $x$ crește cu un pas constant $h$, valoarea funcției crește cu pasul constant $ah$.

Dacă $a\ne 0$, zeroul funcției este $x_0=-\frac{b}{a}$. Semnul lui $f$ se deduce din zero și din semnul pantei: pentru $a>0$, $f(x)<0$ la stânga lui $x_0$ și $f(x)>0$ la dreapta; pentru $a<0$, invers. Funcția este strict crescătoare pentru $a>0$ și strict descrescătoare pentru $a<0$, deoarece raportul diferențelor este egal cu $a$. Pentru $a\ne 0$, $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ este bijectivă și $f^{-1}(x)=\frac{x-b}{a}$. Pentru $a=0$, funcția este constantă și nu este injectivă.

Exemplu rezolvat 1. Dreapta trece prin $(-2;7)$ și $(1;-2)$.

1. $a=\frac{-2-7}{1-(-2)}=\frac{-9}{3}=-3$.
2. $b=7-(-3)(-2)=7-6=1$.
3. Funcția este $f(x)=-3x+1$; verificare: $f(-2)=7$ și $f(1)=-2$.

Exemplu rezolvat 2. Pentru $f(x)=-2x+6$ studiem semnul și inversa.

1. Zeroul: $-2x+6=0$ dă $x=3$, iar intersecțiile cu axele sunt $(0;6)$ și $(3;0)$.
2. Panta $-2<0$, deci $f(x)>0$ pentru $x<3$ și $f(x)<0$ pentru $x>3$.
3. Inversa este $f^{-1}(x)=\frac{x-6}{-2}=\frac{6-x}{2}$; verificare: $f^{-1}(4)=1$ și $f(1)=4$.

Exemplu rezolvat 3. Un taxi percepe o taxă fixă de $5$ lei și $2,5$ lei pe kilometru, deci $c(d)=2,5d+5$.

1. Pentru $12$ km: $c(12)=2,5\cdot 12+5=35$ lei.
2. Pentru $60$ lei: $2,5d+5=60$ dă $d=22$ km.
3. Panta $2,5$ este costul unui kilometru, iar $c(0)=5$ este taxa fixă.

Exemplu rezolvat 4. Fie $f(x)=(2m-6)x+1$, cu $m$ parametru real.

1. Panta este $a=2m-6$, iar $f(0)=1$ pentru orice $m$.
2. Funcția este strict crescătoare pentru $2m-6>0$, adică $m>3$, și strict descrescătoare pentru $m<3$.
3. Pentru $m=3$ avem $f(x)=1$, funcție constantă.

Pe un interval $[p;q]$, o funcție afină are valorile extreme în capete, deoarece este monotonă. Pentru $g(x)=3x+1$ pe $[-1;4]$, cea mai mică valoare este $g(-1)=-2$, iar cea mai mare este $g(4)=13$. Pe $\mathbb{R}$, dacă $a\ne 0$, imaginea este întreaga mulțime $\mathbb{R}$, pentru că ecuația $ax+b=y$ are soluție pentru orice $y$.

Inecuațiile cu funcții afine se citesc din poziția graficelor. Pentru $f(x)=3x-2$ și $g(x)=-x+10$, inegalitatea $f(x)\ge g(x)$ înseamnă $4x\ge 12$, adică $x\ge 3$: de la abscisa $3$ încolo, dreapta cu panta mai mare este deasupra. Valorile $f(n)$ pentru $n=0;1;2;\dots$ formează o progresie aritmetică de rație $a$; pentru $f(n)=2n+3$ se obțin termenii $3;5;7;9;\dots$

Dreptele de ecuații $y=ax+b$ și $y=a^{\prime }x+b^{\prime }$ sunt paralele dacă și numai dacă $a=a^{\prime }$ și $b\ne b^{\prime }$; dacă $a=a^{\prime }$ și $b=b^{\prime }$, sunt aceeași dreaptă. Compunerea a două funcții afine este afină, ca în lecția Compunerea funcțiilor.

La admitere, funcția afină apare prin dreapta determinată de două puncte, prin intersecția a două drepte și prin condiții de paralelism. Se află întâi $a$ și $b$, apoi se cere ce întreabă problema.

Problema 1. Dreapta care trece prin punctele $A(1;4)$ și $B(3;10)$ este graficul unei funcții afine. Abscisa punctului în care dreapta taie axa $Ox$ este:

a) $-3$ b) $-\frac{1}{3}$ c) $\frac{1}{3}$ d) $1$ e) $3$ f) $-1$

1. Panta este $a=\frac{10-4}{3-1}=3$ și $b=4-3\cdot 1=1$, deci $f(x)=3x+1$.
2. Intersecția cu $Ox$ cere $3x+1=0$.
3. Rezultă $x=-\frac{1}{3}$.

Răspuns corect: b). Variantele greșite: a) $-3$ folosește $-\frac{a}{b}$ în loc de $-\frac{b}{a}$; c) $\frac{1}{3}$ pierde semnul minus; d) $1$ este ordonata la origine $b$; e) $3$ este panta $a$; f) $-1$ este $-b$.

Problema 2. Pentru $f(x)=3x-2$ și $g(x)=-x+10$ egalăm valorile: $3x-2=-x+10$, deci $4x=12$ și $x=3$. Ordonata este $f(3)=7$, iar intersecția este $(3;7)$. Dreapta $h_m(x)=mx+4$ este paralelă cu graficul lui $f$ dacă și numai dacă $m=3$; în acest caz dreptele sunt distincte, deoarece ordonatele lor la origine sunt $4$ și $-2$.

Problema 3. Dacă $f(x)=ax+b$, $f(1)=5$ și $f(3)=11$, atunci $a=\frac{11-5}{3-1}=3$ și $b=5-3=2$, deci $f(0)=2$ și $f(10)=32$. Verificare: $f(3)=3\cdot 3+2=11$.

Problema 4. Câte numere naturale $x$ verifică inegalitatea $2x-1\le -x+11$? Din $3x\le 12$ rezultă $x\le 4$, iar numerele naturale sunt $0;1;2;3;4$, adică $5$ numere. Greșeala frecventă este să se numere de la $1$ și să se obțină $4$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $a$ este ordonata la origine.
  Corect: $b=f(0)$ este ordonata la origine, iar $a$ este panta.
• Greșit: graficul lui $f(x)=2x+1$ trece prin $(0;0)$.
  Corect: la $x=0$, $f(0)=1$, deci trece prin $(0;1)$.
• Greșit: pentru $f(x)=5$ (adică $a=0$), zeroul se calculează cu $-\frac{b}{a}$.
  Corect: formula cere $a\ne 0$; funcția constantă $5$ nu are zero, iar funcția constantă $0$ are zero în orice punct.
• Greșit: panta dreptei prin $(1;4)$ și $(3;10)$ este $\frac{3-1}{10-4}$.
  Corect: panta este variația ordonatelor împărțită la variația absciselor, $\frac{10-4}{3-1}=3$.

Înainte și după

Întrebări frecvente