Funcția logaritmică

Funcția logaritmică $f(x)={\log }_{a}x$ este inversa lui $a^x$, pentru $a>0$, $a\ne 1$. Domeniul ei este $(0;+\infty )$, iar imaginea este $\mathbb{R}$. Graficul trece prin $(1;0)$, deoarece ${\log }_{a}1=0$, și este definit numai pentru abscise strict pozitive. Dacă $a>1$, funcția crește; dacă $0<a<1$, descrește. Logaritmul în baza $e\approx 2,718$ se numește logaritm natural și se notează $\ln x={\log }_{e}x$; are același domeniu, $(0;+\infty )$.

Pentru ${\log }_{2}x$, la $x=\frac{1}{4};\frac{1}{2};1;2;4$ valorile sunt $-2;-1;0;1;2$: fiecare valoare arată puterea la care se ridică $2$ pentru a obține argumentul.

Exemplu rezolvat. Pentru $f(x)={\log }_{2}x$:

1. $f(1)=0$, fiindcă $2^0=1$.
2. $f(2)=1$, fiindcă $2^1=2$.
3. $f(8)=3$, fiindcă $2^3=8$.

Punctele $(1;0)$, $(2;1)$ și $(8;3)$ aparțin graficului.

Definiție. Pentru $a>0$, $a\ne 1$ și $x>0$, egalitatea ${\log }_{a}x=y$ are loc dacă și numai dacă $a^y=x$. De aici $a^{{\log }_{a}x}=x$ pentru orice $x>0$ și ${\log }_a(a^x)=x$ pentru orice real $x$. De exemplu, ${\log }_{5}125=3$, deoarece $5^3=125$, iar ${\log }_{1/2}4=-2$, deoarece ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=4$. Graficele lui $a^x$ și ${\log }_{a}x$ sunt simetrice față de dreapta $y=x$, fiind funcții inverse.

Monotonie și semn. Pentru $a>1$ funcția crește, este negativă pe $(0;1)$ și pozitivă pe $(1;+\infty )$. Pentru $0<a<1$ funcția descrește, este pozitivă pe $(0;1)$ și negativă pe $(1;+\infty )$. De exemplu, ${\log }_2\frac{1}{8}=-3<0$, dar ${\log }_{1/2}\frac{1}{8}=3>0$. Pentru $u,v>0$ avem ${\log }_{a}u={\log }_{a}v$ dacă și numai dacă $u=v$. Dacă $a>1$, ${\log }_{a}u<{\log }_{a}v$ dacă și numai dacă $u<v$; dacă $0<a<1$, dacă și numai dacă $u>v$.

Graficul. Punctele $\left(\frac{1}{a};-1\right)$, $(1;0)$ și $(a;1)$ aparțin graficului. Dreapta $x=0$ (axa $Oy$) este asimptotă verticală: valorile scad oricât de mult când argumentul se apropie de zero din dreapta, pentru $a>1$. Dacă ${\log }_{a}x=y$, atunci $a^y=x$, adică ${\left(\frac{1}{a}\right)}^{-y}=x$, deci ${\log }_{1/a}x=-y$. Așadar graficele lui ${\log }_{a}x$ și ${\log }_{1/a}x$ sunt simetrice față de $Ox$. Pentru ${\log }_{a}g(x)$, domeniul este dat de $g(x)>0$. Graficul lui ${\log }_a(x+b)+d$ se obține din cel al lui ${\log }_{a}x$ prin translație cu $b$ unități la stânga și cu $d$ în sus: asimptota devine $x=-b$, iar domeniul $(-b;+\infty )$. Logaritmul zecimal se notează $\lg x={\log }_{10}x$.

Exemplu rezolvat 1. Pentru $g(x)={\log }_3(x-2)$:

1. $x-2>0$ dă domeniul $(2;+\infty )$.
2. Zeroul funcției apare când $x-2=1$, deci la $x=3$.
3. Graficul se apropie de dreapta $x=2$, fără să o atingă.

Exemplu rezolvat 2. Aflăm domeniul și zerourile lui $f(x)={\log }_3(x^2-4x+3)$.

1. Condiția este $x^2-4x+3>0$, adică $(x-1)(x-3)>0$, deci domeniul este $(-\infty ;1)\cup (3;+\infty )$.
2. Zerourile: $x^2-4x+3=1$, adică $x^2-4x+2=0$, cu soluțiile $x=2\pm \sqrt{2}$.
3. Cum $2-\sqrt{2}\approx 0,59<1$ și $2+\sqrt{2}\approx 3,41>3$, ambele valori sunt în domeniu.

Exemplu rezolvat 3. Comparăm numerele ${\log }_{1/2}3$ cu ${\log }_{1/2}5$ și ${\log }_{2}3$ cu $\frac{3}{2}$.

1. Baza $\frac{1}{2}$ este subunitară, funcția descrește și $3<5$, deci ${\log }_{1/2}3>{\log }_{1/2}5$ (adică $-1,58>-2,32$).
2. Scriem $\frac{3}{2}={\log }_2{2}^{3/2}={\log }_2\sqrt{8}$.
3. Baza $2>1$ și $3>\sqrt{8}$, fiindcă $9>8$; deci ${\log }_{2}3>\frac{3}{2}$.

Exemplu rezolvat 4. Determinăm inversa funcției $f:\mathbb{R}\to (0;+\infty )$, $f(x)=2^{x-1}$. Din $y=2^{x-1}$ rezultă $x-1={\log }_{2}y$, deci $x=1+{\log }_{2}y$. Inversa este $f^{-1}:(0;+\infty )\to \mathbb{R}$, $f^{-1}(x)=1+{\log }_{2}x$. Verificare: $f(3)=4$ și $f^{-1}(4)=1+2=3$.

Exemplu rezolvat 5. Rezolvăm ${\log }_{1/2}(x-1)>1$. Domeniul este $x>1$. Baza subunitară inversează sensul: $x-1<\frac{1}{2}$. Combinând cu $x-1>0$, obținem $1<x<\frac{3}{2}$. Verificarea cu $x=\frac{5}{4}$ dă ${\log }_{1/2}\frac{1}{4}=2>1$.

Exemplu rezolvat 6. O cultură de bacterii se dublează în fiecare oră, pornind de la o celulă. După $t$ ore sunt $2^t$ celule, deci timpul necesar pentru $N$ celule este $t={\log }_{2}N$. Pentru $N=1000$, $t={\log }_{2}1000\approx 9,97$. Cum $2^9=512<1000<1024=2^{10}$, pragul de $1000$ de celule este depășit după $10$ ore, nu mai devreme. Graficul lui ${\log }_{2}x$ urcă lent: pentru ca valoarea să crească cu $1$, argumentul trebuie dublat, fiindcă ${\log }_2(2x)={\log }_{2}x+1$; de la $x=8$ la $x=16$ valoarea crește doar de la $3$ la $4$.

La inecuațiile logaritmice se cere întâi domeniul, apoi se compară argumentele în sensul dat de bază. De exemplu, ${\log }_{1/3}(2x-1)\ge -1$ înseamnă $0<2x-1\le {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=3$, adică $x\in \left(\frac{1}{2};2\right]$. Baza subunitară inversează sensul, iar limita inferioară vine din domeniu. Verificare: $x=2$ dă ${\log }_{1/3}3=-1$ (capătul drept, inclus), $x=1$ dă ${\log }_{1/3}1=0\ge -1$, iar $x=\frac{5}{2}$ dă ${\log }_{1/3}4\approx -1,26<-1$, deci nu convine.

La admitere, domeniul unui logaritm cu argument parametric duce la o condiție de semn pentru un trinom: expresia ${\log }_{a}g(x)$ are sens dacă $g(x)>0$, iar pentru ca domeniul să fie $\mathbb{R}$ trebuie ca $g(x)>0$ pentru orice real $x$.

Problemă rezolvată. Mulțimea valorilor parametrului $m$ pentru care funcția $f(x)={\log }_2(x^2-2mx+4)$ este definită pentru orice $x\in \mathbb{R}$ este:

a) $[-2;2]$ b) $(-\infty ;-2)\cup (2;+\infty )$ c) $(-4;4)$ d) $(0;2)$ e) $(-2;2)$ f) $(-\infty ;2)$

1. Trebuie ca $x^2-2mx+4>0$ pentru orice $x$.
2. Coeficientul lui $x^2$ este $1>0$, deci este suficient ca $\Delta <0$.
3. $\Delta =4m^2-16<0$ dă $m^2<4$, adică $m\in (-2;2)$.
4. Pentru $m=2$, trinomul este $(x-2{)}^2$ și se anulează la $x=2$, unde logaritmul nu are sens; la fel pentru $m=-2$, cu $(x+2{)}^2$.
5. Verificare: pentru $m=1,9$, valoarea minimă a trinomului este $4-m^2=0,39>0$, iar pentru $m=2,1$ este $-0,41<0$.

Răspuns corect: e). Variantele greșite: a) include capetele, deși acolo există o valoare a lui $x$ pentru care argumentul este zero; b) inversează sensul inegalității $m^2<4$; c) ia $b=-m$ în loc de $b=-2m$, deci $\Delta =m^2-16$; d) păstrează numai valorile pozitive; f) reține o singură condiție, $m<2$.

Greșeli frecvente

• Greșit: ${\log }_{a}0$ este definit.
  Corect: argumentul trebuie să fie strict pozitiv.
• Greșit: graficul lui ${\log }_{2}x$ trece prin $(0;1)$.
  Corect: funcția nu este definită la $x=0$ și trece prin $(1;0)$.
• Greșit: logaritmul este crescător pentru orice bază admisă.
  Corect: descrește la $0<a<1$.
• Greșit: la rezolvarea lui ${\log }_{1/2}(x-1)>1$ se scrie $x-1>\frac{1}{2}$.
  Corect: baza este subunitară, deci sensul se inversează: $x-1<\frac{1}{2}$, iar soluția rămâne în domeniul $x>1$.
• Greșit: funcțiile $f(x)={\log }_2{x}^2$ și $g(x)=2{\log }_{2}x$ sunt egale.
  Corect: $f$ are domeniul $\mathbb{R}\setminus \{0\}$, iar $g$ are domeniul $(0;+\infty )$; pentru $x<0$ avem $f(x)=2{\log }_2|x|$.

Înainte și după