Operații cu numere raționale

La numerele raționale folosim aceleași operații, dar trebuie să ținem seama și de semne. La adunarea a două numere negative, aduni modulele și pui semnul minus. La adunarea numerelor cu semne diferite, compari modulele și păstrezi semnul celui cu modul mai mare. Scăderea se transformă în adunarea opusului: $a-b=a+(-b)$.

La fracții cu numitori diferiți, adunarea sau scăderea cere numitor comun. La înmulțire, înmulțești numărătorii și numitorii, iar semnul produsului este pozitiv pentru semne egale și negativ pentru semne diferite. La împărțire, a doua fracție trebuie să fie nenulă; înmulțești cu inversa ei. La împărțire inversezi doar împărțitorul; semnul rezultatului se stabilește după regula semnelor.

Regula semnelor se aplică la fel la înmulțire și la împărțire: produsul sau câtul a două numere cu același semn este pozitiv, iar cel a două numere cu semne diferite este negativ. Astfel, $\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \left(-\frac{10}{9}\right)=\frac{2}{3}$, pentru că două semne minus dau plus, iar $\frac{3\cdot 10}{5\cdot 9}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$. Un număr rațional înmulțit cu $0$ dă $0$, iar împărțirea la $0$ nu are sens. Inversul lui $-\frac{3}{4}$ este $-\frac{4}{3}$: se păstrează semnul și se răstoarnă fracția.

La adunare, o scriere utilă este cu numere zecimale când acestea apar în enunț: $-1,5+\frac{3}{4}$ se rezolvă transformând $\frac{3}{4}$ în $0,75$, deci suma este $-0,75$. Alege forma în care calculul este mai simplu și scrie rezultatul în forma cerută de problemă.

Ordinea operațiilor rămâne importantă. Parantezele se rezolvă primele, iar înmulțirea și împărțirea înaintea adunării și scăderii. Un rezultat negativ poate fi corect; nu îl schimba în pozitiv doar fiindcă este vorba despre fracții.

Exemplu rezolvat. Calculează $-\frac{2}{3}+\frac{5}{6}$.

1. Alege numitorul comun $6$.
2. Scrie $-\frac{2}{3}=-\frac{4}{6}$.
3. Adună numărătorii cu semn: $-\frac{4}{6}+\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$.

Răspuns: $\frac{1}{6}$. Verifică estimând: $-\frac{2}{3}$ este aproximativ $-0,67$, iar $\frac{5}{6}$ aproximativ $0,83$, deci suma este mică și pozitivă.

Exemplu rezolvat. Calculează $\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)$.

1. Scăderea înseamnă adunarea opusului: $\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$.
2. Numitorul comun este $6$: $\frac{3}{6}+\frac{2}{6}$.
3. Suma este $\frac{5}{6}$.

Exemplu rezolvat. Calculează $\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot \frac{9}{10}$ și $\left(-\frac{3}{4}\right):\left(-\frac{1}{2}\right)$.

1. În primul produs semnele sunt diferite, deci rezultatul este negativ: $-\frac{2\cdot 9}{3\cdot 10}=-\frac{18}{30}=-\frac{3}{5}$.
2. În cât semnele sunt egale, deci rezultatul este pozitiv: $\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{1}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$.

Verificare pentru cât: $\frac{3}{2}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{4}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $-\frac{2}{3}+\frac{5}{6}=\frac{4}{6}+\frac{5}{6}=\frac{9}{6}$.
  Corect: semnul minus se păstrează, iar suma este $\frac{1}{6}$.
• Greșit: $-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=-\frac{2}{5}$.
  Corect: aducem la șesimi și obținem $-\frac{3}{6}-\frac{2}{6}=-\frac{5}{6}$.
• Greșit: $-\frac{3}{4}:\frac{1}{2}=-\frac{3}{8}$.
  Corect: înmulțim cu inversa împărțitorului, deci rezultatul este $-\frac{3}{2}$.

Înainte și după