Fracții zecimale periodice

Unele fracții nu au o scriere zecimală care se termină. Dacă împarți $1$ la $3$, obții $0,333\dots$: cifra $3$ se repetă fără sfârșit. Scriem pe scurt $0,(3)$ și spunem că este o zecimală periodică. Grupul de cifre care se repetă se numește perioadă. Pentru $\frac{1}{6}=0,1(6)$, cifra $1$ apare o singură dată înaintea perioadei $6$.

O scriere zecimală periodică reprezintă tot un număr rațional, chiar dacă are infinit de multe cifre. Nu încerca să scrii toate cifrele: este imposibil. Perioada poate avea o cifră, ca în $0,(3)$, sau mai multe, ca în $0,(27)$. Notația cu paranteze arată exact ce se repetă. Dacă oprești scrierea după câteva cifre, obții o aproximare, nu valoarea exactă.

Unele fracții au zecimale finite, ca $\frac{1}{4}=0,25$. Altele au perioadă. În ambele cazuri, fracția obișnuită este o scriere exactă. Trebuie să faci diferența dintre „egal” și „aproximativ egal”: $1/3=0,(3)$, dar $1/3\approx 0,33$.

Exemplu rezolvat. Transformă $0,(27)$ în fracție.

1. Notează $x=0,272727\dots$.
2. Înmulțește cu $100$: $100x=27,272727\dots$.
3. Scade prima egalitate din a doua: $99x=27$.
4. Rezultă $x=27/99=3/11$.

Verificare: împărțirea $3:11$ produce perioada $27$.

O fracție zecimală periodică simplă se transformă astfel: $0,(ab)=\frac{ab}{99}$, unde $ab$ este numărul de două cifre din perioadă. Pentru una mixtă, $0,a(b)=\frac{ab-a}{90}$. De exemplu, $0,1(6)=\frac{16-1}{90}=\frac{1}{6}$. Verifică prin împărțire că rezultatul are aceeași perioadă.

Ce fracții au zecimale finite? O fracție ireductibilă are scriere zecimală finită dacă și numai dacă numitorul ei se descompune numai în factori $2$ și $5$: $\frac{3}{20}=0,15$, deoarece $20=2^2\cdot 5$. Dacă numitorul are alt factor prim, scrierea este periodică: $\frac{1}{7}=0,(142857)$ are perioada de șase cifre, iar $\frac{2}{3}=0,(6)$ are perioada $6$.

Exemplu rezolvat. Scrie $\frac{7}{12}$ ca număr zecimal.

1. Descompune numitorul: $12=2^2\cdot 3$. Apare factorul $3$, deci scrierea este periodică.
2. Împarte $7:12=0,58333\dots$: după cifrele $5$ și $8$ se repetă cifra $3$.
3. Scrie cu notația cu paranteze: $0,58(3)$.

Verificare cu formula pentru perioadă mixtă: $0,58(3)=\frac{583-58}{900}=\frac{525}{900}=\frac{7}{12}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $0,(3)=0,3$.
  Corect: prima valoare este $1/3$, iar a doua $3/10$; diferența este $1/30$.
• Greșit: $0,1(6)=16/99$.
  Corect: doar șase se repetă, iar fracția este $(16-1)/90=1/6$.
• Greșit: pentru $x=0,(27)$, scăderea dă $100x-x=27x$.
  Corect: membrul stâng este $99x$, iar cel drept este $27$, deci $x=3/11$.

Înainte și după