Numere raționale

Un număr rațional poate fi scris ca fracție $\frac{a}{b}$, unde $a$ și $b$ sunt numere întregi, iar $b\ne 0$. De exemplu, $\frac{3}{4}$, $-\frac{2}{5}$ și $7=\frac{7}{1}$ sunt raționale. Și $0$ este rațional, fiindcă $0=\frac{0}{1}$. Litera $\mathbb{Q}$ numește mulțimea tuturor numerelor raționale.

Aceeași valoare poate avea mai multe scrieri: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=0,5$. Pe axa numerelor, toate aceste scrieri indică același punct. Numerele raționale pot fi pozitive, negative sau zero. Pentru a compara un număr negativ cu unul pozitiv, observă că negativul este la stânga lui zero, iar pozitivul la dreapta.

Modulul unui număr este distanța lui față de zero. Astfel $|-\frac{3}{2}|=\frac{3}{2}$. Modulul nu poate fi negativ. Între două numere raționale diferite găsești mereu un alt număr rațional, de pildă media lor; nu există „următorul” număr rațional ca la numerele naturale.

Exemplu rezolvat. Așază în ordine $-\frac{1}{2}$, $0$ și $\frac{1}{4}$.

1. $-\frac{1}{2}$ este la stânga lui $0$, deci este cel mai mic.
2. $\frac{1}{4}$ este la dreapta lui $0$, deci este cel mai mare.
3. Scrie $-\frac{1}{2}<0<\frac{1}{4}$.

Verifică pe o axă: $-\frac{1}{2}$ este la jumătate de unitate în stânga, $\frac{1}{4}$ la un sfert în dreapta.

Exemplu rezolvat. Arată că $-0,75$ este număr rațional.

1. Scrii zecimala ca fracție cu numitor putere a lui $10$: $-0,75=-\frac{75}{100}$.
2. Simplifici cu $25$, cel mai mare divizor comun al lui $75$ și $100$: $-\frac{75}{100}=-\frac{3}{4}$.
3. Este raportul a două numere întregi, $\frac{-3}{4}$, cu numitorul nenul, deci este rațional.

Mulțimile de numere se includ una în alta: $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$. Orice număr întreg este rațional, dar nu orice rațional este întreg: $\frac{1}{2}\notin \mathbb{Z}$. Opusul lui $\frac{a}{b}$ este $-\frac{a}{b}$, iar suma lor este $0$. Două numere raționale cu același modul și semne diferite sunt opuse: $\frac{3}{5}$ și $-\frac{3}{5}$.

Pentru a compara două numere raționale negative, compari mai întâi modulele: cel cu modulul mai mare este mai mic. Pentru a compara fracții, le aduci la numitor comun.

Exemplu rezolvat. Compară $-\frac{3}{4}$ și $-\frac{2}{3}$.

1. Numitorul comun este $12$: $-\frac{3}{4}=-\frac{9}{12}$ și $-\frac{2}{3}=-\frac{8}{12}$.
2. Modulele sunt $\frac{9}{12}$ și $\frac{8}{12}$, iar $\frac{9}{12}>\frac{8}{12}$.
3. Numărul negativ cu modulul mai mare este mai mic: $-\frac{9}{12}<-\frac{8}{12}$.

Răspuns: $-\frac{3}{4}<-\frac{2}{3}$. Pe axă, $-\frac{3}{4}$ se află mai la stânga decât $-\frac{2}{3}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: $-7$ nu este rațional fiindcă nu este scris ca fracție.
  Corect: $-7=-7/1$, deci este rațional.
• Greșit: între $1/2$ și $3/4$ nu mai există un rațional.
  Corect: media lor este $5/8$ și se află strict între ele.
• Greșit: $|-3/2|=-3/2$.
  Corect: distanța până la zero este pozitivă, egală cu $3/2$.

Înainte și după