Prețuri, reduceri și adaosuri

O reducere de $r\%$ din prețul inițial $P$ înseamnă un preț nou $P(1-r/100)$. Un adaos de $r\%$ aplicat aceleiași baze dă $P(1+r/100)$. Baza procentului trebuie precizată: reducerea după adaos nu readuce, în general, prețul inițial.

Exemplu rezolvat. Un obiect costă $200$ lei și primește reducere de $15\%$.

1. Reducerea este $0,15\cdot 200=30$ lei.
2. Scădem din preț: $200-30=170$ lei.
3. Prețul final este $170$ lei.

Prețul după o reducere de $r\%$ este $P_f=P_i(1-r/100)$, unde pentru o reducere obișnuită $0\le r\le 100$. Dacă prețul final și reducerea sunt cunoscute, recuperăm prețul inițial prin împărțirea la factorul rămas, cu condiția ca acesta să fie nenul. Reducerile succesive se compun prin înmulțirea factorilor, deoarece fiecare se aplică prețului curent. Un adaos și o reducere cu același procent nu se anulează: factorii au baze diferite, iar produsul lor este $1-(r/100{)}^2$. Reducerea echivalentă se calculează comparând direct prețul final cu cel inițial, nu adunând procentele de pe etichete.

Exemplu rezolvat. După o reducere de $20\%$, un obiect costă $144$ lei.

1. Prețul final reprezintă $80\%$ din cel inițial, deci $144=0,8P_i$.
2. Împărțim la factorul nenul: $P_i=144/0,8=180$ lei.
3. O reducere suplimentară de $10\%$ duce la $144\cdot 0,9=129,6$ lei.
4. Factorul total este $0,8\cdot 0,9=0,72$, deci reducerea totală este $28\%$, nu $30\%$.

Prețul de vânzare se formează adăugând la prețul de cost un adaos comercial de $a\%$, deci $P_v=P_c\left(1+\frac{a}{100}\right)$; apoi se poate aplica o reducere sau TVA, tot ca factor. Taxa pe valoarea adăugată (TVA) de $19\%$ înmulțește prețul fără TVA cu $1,19$. Reducerea și TVA-ul sunt factori înmulțiți, deci ordinea în care se aplică nu schimbă prețul final: $200\cdot 0,9\cdot 1,19=200\cdot 1,19\cdot 0,9=214,2$ lei.

Exemplu rezolvat. Un produs are prețul de cost $80$ lei. Magazinul adaugă un adaos comercial de $25\%$, apoi face o reducere de $20\%$. Ce preț final are produsul și ce profit rămâne?

1. Prețul de vânzare cu adaos: $80\cdot 1,25=100$ lei.
2. Prețul după reducere: $100\cdot 0,8=80$ lei.
3. Profitul este $80-80=0$ lei: reducerea de $20\%$ din prețul cu adaos elimină exact adaosul de $25\%$ din cost.

Concluzia depinde de baze diferite: $25\%$ se calculează din $80$, iar $20\%$ din $100$.

Exemplu rezolvat. Un obiect costa $250$ lei și acum costă $190$ lei. Ce reducere procentuală s-a aplicat?

1. Reducerea în lei este $250-190=60$ lei.
2. Procentul se raportează la prețul inițial: $\frac{60}{250}\cdot 100=24\%$.

Verificare: $250\cdot (1-0,24)=190$ lei.

Eticheta unui produs trebuie citită cu atenție: dacă scrie „–30%”, prețul nou este $70\%$ din cel vechi, iar dacă scrie „+15%”, este $115\%$. Pentru a reveni la prețul inițial după o reducere de $r\%$, creșterea necesară este $\frac{r}{100-r}\cdot 100\%$, nu $r\%$. Factorul invers al lui $0,8$ este $\frac{1}{0,8}=1,25$, deci după o reducere de $20\%$ trebuie o creștere de $25\%$; după o reducere de $50\%$ trebuie o creștere de $100\%$, fiindcă $\frac{1}{0,5}=2$. Reducerea se poate raporta și la prețul final: dacă un preț de $100$ lei devine $80$ lei, reducerea față de preț este $\frac{20}{100}=20\%$, dar prețul vechi este cu $\frac{20}{80}=25\%$ mai mare decât cel nou.

Greșeli frecvente

• Greșit: un adaos de $25\%$ urmat de o reducere de $20\%$ readuce prețul la costul inițial doar pentru că $25-20=5$.
  Corect: ele se aplică unor baze diferite și efectul se calculează cu factorii $1,25\cdot 0,8=1$.
• Greșit: prețul inițial din exemplu este $144\cdot 1,2=172,8$ lei.
  Corect: trebuie împărțit la $0,8$, rezultând $180$ lei.
• Greșit: reducerile succesive de $20\%$ și $10\%$ înseamnă împreună $30\%$.
  Corect: reducerea echivalentă este $100(1-0,8\cdot 0,9)\%=28\%$.

Înainte și după