Dobânda simplă

Într-un model cu dobândă simplă, dobânda se calculează de fiecare dată din capitalul inițial $S_0$, nu din suma deja crescută. Dacă dobânda anuală este $p\%$ și durata este $t$ ani, dobânda este $D=S_0\cdot \frac{p}{100}\cdot t$, iar suma finală este $S_t=S_0\left(1+\frac{pt}{100}\right)$.

Exemplu rezolvat. Pentru $S_0=1000$ lei, dobânda anuală de $5\%$ (deci $p=5$) și $t=2$ ani:

1. $D=1000\cdot \frac{5}{100}\cdot 2=100$ lei.
2. Adunăm capitalul: $S_t=1000+100$.
3. Suma modelului este $1100$ lei.

Rata și durata trebuie exprimate în unități compatibile: o rată anuală cere durata în ani. Pentru $6$ luni, $t=1/2$ an. Formula este un model matematic; un contract real poate include comisioane, taxe sau convenții de calcul diferite, care trebuie introduse separat.

Pentru capital inițial $C$, rată anuală $p\%$ și timp $t$ ani, dobânda simplă este $D=C\cdot \frac{p}{100}\cdot t$, iar suma finală $S=C+D$. Dobânda nu intră în baza de calcul a perioadei următoare. Exemplu rezolvat. Pentru $C=800$ lei, $p=6$ și $t=3/2$ ani, calculăm $D=800\cdot 0,06\cdot 1,5=72$ lei; suma finală este $872$ lei. Dacă folosim luni, cele $18$ luni se transformă mai întâi în $18/12=1,5$ ani. Folosirea directă a lui $18$ cu o rată anuală ar înmulți greșit dobânda cu $12$.

Formula $D=C\cdot \frac{p}{100}\cdot t$ leagă patru mărimi; din oricare trei se află a patra. Rata se obține din $p=\frac{100D}{Ct}$, durata din $t=\frac{100D}{Cp}$, iar capitalul din $C=\frac{100D}{pt}$.

Exemplu rezolvat. O depunere de $2000$ lei ajunge la $2240$ lei după $2$ ani cu dobândă simplă. Află rata anuală.

1. Dobânda este $2240-2000=240$ lei.
2. $p=\frac{100\cdot 240}{2000\cdot 2}=6$.
3. Rata este $6\%$ pe an.

Exemplu rezolvat. Cât timp trebuie ținut un capital de $1500$ lei la rata de $8\%$ pe an, ca dobânda simplă să fie $300$ lei?

1. $t=\frac{100\cdot 300}{1500\cdot 8}=2,5$.
2. Durata este $2,5$ ani, adică $2$ ani și $6$ luni.

Exemplu rezolvat. Un capital de $3600$ lei se depune pentru $8$ luni la rata anuală de $4,5\%$, cu dobândă simplă. Află dobânda și suma finală.

1. Durata în ani este $t=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$.
2. Dobânda este $D=3600\cdot \frac{4,5}{100}\cdot \frac{2}{3}=162\cdot \frac{2}{3}=108$ lei.
3. Suma finală este $3600+108=3708$ lei.

Exemplu rezolvat. Compară două oferte pentru $5000$ lei pe $3$ ani: banca A oferă dobândă simplă de $6\%$ pe an, banca B oferă dobândă compusă anuală de $5,5\%$.

1. Banca A: $S=5000\left(1+\frac{6\cdot 3}{100}\right)=5000\cdot 1,18=5900$ lei.
2. Banca B: $S=5000\cdot 1,055^3\approx 5871,21$ lei.
3. Pe $3$ ani oferta A aduce cu aproximativ $28,79$ lei mai mult, deși rata B pare apropiată.

Pe durate mai mari, dobânda compusă depășește la un moment dat pe cea simplă. Concluzia depinde de rate, de durată și de modelul de calcul, de aceea comparația se face pe același număr de ani, cu aceeași sumă inițială și cu rata exprimată în aceeași unitate de timp.

Dobânda simplă crește liniar cu timpul, pe când dobânda compusă crește exponențial. Pentru $1000$ lei la $5\%$ timp de $3$ ani, suma cu dobândă simplă este $1150$ lei, iar cu dobândă compusă anuală $1000\cdot 1,05^3\approx 1157,63$ lei; diferența apare deoarece dobânda din primii ani produce la rândul ei dobândă.

Greșeli frecvente

• Greșit: dobânda simplă pe $3$ ani cu rata de $5\%$ este $5\%$ din capital.
  Corect: este $3\cdot 5\%=15\%$ din capitalul inițial, adică $150$ lei la $1000$ lei.
• Greșit: în formula $D=S_0\cdot \frac{p}{100}\cdot t$, pentru dobânda de $5\%$ pui $p=0,05$.
  Corect: pui $p=5$, deoarece formula împarte deja la $100$.
• Greșit: pentru dobândă simplă baza crește anual.
  Corect: baza rămâne capitalul inițial.
• Greșit: șase luni se introduc ca $t=6$ la o rată anuală.
  Corect: se folosește $1/2$ an.

Înainte și după