Dobânda compusă

La dobânda compusă, dobânda unei perioade se adaugă sumei, iar în perioada următoare se calculează și asupra dobânzii acumulate. Pentru capitalul inițial $S_0$, dobânda anuală $p\%$ și capitalizare o dată pe an timp de $n$ ani, suma este $S_n=S_0{\left(1+\frac{p}{100}\right)}^n$.

Exemplu rezolvat. Pentru $S_0=1000$ lei și dobânda anuală de $10\%$ (deci $p=10$) timp de $2$ ani:

1. După primul an suma este $1000\cdot 1,1=1100$ lei.
2. După al doilea, $1100\cdot 1,1=1210$ lei.
3. Formula confirmă $1000(1,1{)}^2=1210$ lei.

Dacă dobânda nominală anuală $p\%$ se capitalizează de $m$ ori pe an, în modelul standard $S_{mt}=S_0{\left(1+\frac{p}{100m}\right)}^{mt}$ pentru $t$ ani, dacă $mt$ este un număr natural de perioade complete. Rata efectivă anuală este ${\left(1+\frac{p}{100m}\right)}^m-1$. Condițiile concrete ale unui produs financiar pot schimba rezultatul prin taxe, comisioane și calendar.

Exemplu rezolvat. Depunem $1200$ lei pentru un an la rata nominală anuală de $12\%$, cu capitalizare lunară și fără comisioane.

1. Rata pe lună este $12\%/12=1\%$.
2. Sunt $12$ perioade, deci suma finală este $1200(1+0,01{)}^{12}\approx 1352,19$ lei.
3. Dobânda este aproximativ $152,19$ lei.

Rata efectivă anuală este $(1,01{)}^{12}-1\approx 0,126825$, adică aproximativ $12,68\%$, mai mare decât rata nominală de $12\%$.

Capitalizarea mai frecventă produce o sumă ceva mai mare. Pentru $1000$ lei cu rata nominală anuală de $8\%$ timp de un an, capitalizarea anuală dă $1000\cdot 1,08=1080$ lei, iar cea semestrială, cu rata de $4\%$ pe semestru, dă $1000\cdot 1,04^2=1081,60$ lei. Rata efectivă anuală este în al doilea caz $1,04^2-1=8,16\%$.

Rata unei dobânzi compuse se poate afla dintr-o sumă finală: din $S_n=S_0(1+r{)}^n$ rezultă $r=\sqrt[n]{\frac{S_n}{S_0}}-1$. Pentru o depunere care crește de la $1000$ lei la $1331$ lei în $3$ ani, $\frac{1331}{1000}=1,331=1,1^3$, deci $r=0,1=10\%$ pe an. Formula de creștere se folosește și pentru scăderi cu procent constant. O sumă care scade în fiecare perioadă cu $p\%$ ajunge după $n$ perioade la $S_0{\left(1-\frac{p}{100}\right)}^n$. Un echipament de $20000$ lei care pierde $10\%$ din valoare în fiecare an valorează după $3$ ani $20000\cdot 0,9^3=14580$ lei.

Exemplu rezolvat. După $3$ ani cu dobândă anuală compusă de $10\%$, o depunere ajunge la $1331$ lei. Care a fost depunerea inițială?

1. Formula este $S_3=S_0\cdot 1,1^3$, iar $1,1^3=1,331$.
2. $S_0=\frac{1331}{1,331}=1000$ lei.

Exemplu rezolvat. În câți ani o depunere de $1000$ lei la $10\%$ pe an, cu capitalizare anuală, depășește $1500$ lei?

1. Calculăm puterile lui $1,1$: $1,1^4=1,4641$ și $1,1^5=1,61051$.
2. După $4$ ani suma este $1464,10$ lei, sub $1500$ lei; după $5$ ani este $1610,51$ lei.
3. Sunt necesari $5$ ani.

Rezultatul se citește pe perioade întregi, deoarece dobânda se adaugă la sfârșitul fiecărei perioade.

Dobânda compusă explică de ce economiile pe termen lung cresc repede: la $6\%$ pe an, factorul de creștere este $1,06^{10}\approx 1,79$ pe $10$ ani, deci suma crește cu aproximativ $79\%$, în timp ce dobânda simplă ar da doar $60\%$. Diferența vine din dobânda calculată și asupra dobânzilor anterioare. În calcul, valorile intermediare nu se rotunjesc prea devreme: păstrezi puterea $1,06^{10}$ cu patru-cinci zecimale și rotunjești suma abia la sfârșit, la bani, adică la două zecimale în lei, ca să nu acumulezi erori de rotunjire.

Greșeli frecvente

• Greșit: după $5$ ani cu dobândă compusă de $10\%$ pe an, capitalul a crescut cu $50\%$.
  Corect: factorul este $1,1^5\approx 1,61$, deci creșterea este de aproximativ $61\%$.
• Greșit: dobânda compusă se calculează mereu din capitalul inițial.
  Corect: baza crește după capitalizare.
• Greșit: $10\%$ pe doi ani înseamnă automat $20\%$ total.
  Corect: la capitalizare anuală totalul este $21\%$.
• Greșit: rata nominală și cea efectivă sunt identice pentru orice frecvență.
  Corect: capitalizarea mai frecventă schimbă rata efectivă.

Înainte și după