Probabilitate condiționată

Probabilitatea condiționată $P(A\mid B)$ măsoară șansa evenimentului $A$ după ce știm că $B$ a avut loc. Dacă $P(B)>0$, atunci $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$. Spațiul de referință se restrânge la rezultatele din $B$. Evenimentele $A$ și $B$ sunt independente dacă informația că $B$ a avut loc nu schimbă probabilitatea lui $A$.

Exemplu rezolvat. La un zar echilibrat, $A$ înseamnă „rezultat par”, iar $B$ „rezultat cel puțin 4”.

1. $B=\{4;5;6\}$ are trei rezultate.
2. În $B$, rezultatele pare sunt $\{4;6\}$, adică două.
3. $P(A\mid B)=2/3$.

Condiționarea schimbă mulțimea de referință: păstrăm doar rezultatele compatibile cu informația primită. Definiția $P(A\mid B)=P(A\cap B)/P(B)$ cere $P(B)>0$. Rearanjarea ei dă regula produsului $P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)$; pentru trei evenimente, $P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B\mid A)P(C\mid A\cap B)$. Pentru același $B$, probabilitățile condiționate respectă aceleași reguli ca probabilitățile obișnuite, de pildă $P(\bar{A}\mid B)=1-P(A\mid B)$.

Evenimentele $A$ și $B$ cu $P(B)>0$ sunt independente dacă $P(A\mid B)=P(A)$, echivalent $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Dacă $A$ și $B$ sunt independente, sunt independente și $A$ cu $\bar{B}$: $P(A\cap \bar{B})=P(A)-P(A\cap B)=P(A)-P(A)P(B)=P(A)P(\bar{B})$. Independența nu se presupune din intuiție, ci se verifică prin egalitatea de mai sus. Incompatibilitatea unor evenimente cu probabilități pozitive implică $P(A\mid B)=0\ne P(A)$, deci exclude independența. La extrageri fără revenire, compoziția urnei se schimbă, deci probabilitățile extragerilor următoare depind de rezultatele anterioare. Probabilitatea condiționată în sens invers, $P(B\mid A)$, are alt numitor, $P(A)$, și în general altă valoare.

Exemplu rezolvat. O urnă are $3$ bile roșii și $2$ albastre; extragem $2$ bile fără revenire.

1. Probabilitatea ca prima să fie roșie este $3/5$.
2. Dacă prima a fost roșie, rămân $2$ roșii din $4$ bile, deci probabilitatea celei de-a doua este $2/4$.
3. Probabilitatea ambelor roșii este $(3/5)(2/4)=3/10$.
4. Dacă bilele s-ar pune la loc, al doilea factor ar fi $3/5$, iar experimentul ar avea alt rezultat.

Exemplu rezolvat. Se aruncă două zaruri. $A$ este evenimentul „suma este $8$”, iar $B$ „primul zar arată număr par”. Sunt $A$ și $B$ independente?

1. Din $36$ de perechi, $18$ au primul zar par, deci $P(B)=18/36=1/2$.
2. Perechile cu suma $8$ și primul zar par sunt $(2;6);(4;4);(6;2)$, deci $P(A\cap B)=3/36=1/12$.
3. $P(A\mid B)=\frac{1/12}{1/2}=\frac{1}{6}$, iar $P(A)=5/36$.
4. Cum $\frac{1}{6}=\frac{6}{36}\ne \frac{5}{36}$, evenimentele sunt dependente.

Exemplu rezolvat. La aceleași zaruri, $C$ este „suma este $7$”, iar $D$ „primul zar arată $3$”.

1. Singura pereche cu suma $7$ și primul zar $3$ este $(3;4)$, deci $P(C\cap D)=1/36$.
2. $P(C)=6/36=1/6$ și $P(D)=6/36=1/6$, iar $P(C)P(D)=1/36$.
3. Egalitatea $P(C\cap D)=P(C)P(D)$ arată că $C$ și $D$ sunt independente: oricare ar fi primul zar, o singură valoare a celui de-al doilea completează suma $7$.

Exemplu rezolvat. Într-o clasă sunt $30$ de elevi, dintre care $18$ fete. Poartă ochelari $12$ elevi, dintre care $9$ fete. Se alege un elev la întâmplare.

1. Probabilitatea ca elevul ales să fie fată, știind că poartă ochelari: $P(F\mid O)=\frac{9/30}{12/30}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$.
2. Probabilitatea să poarte ochelari, știind că este fată: $P(O\mid F)=\frac{9/30}{18/30}=\frac{1}{2}$.
3. Cele două valori diferă, pentru că se schimbă mulțimea de referință, adică numitorul.

Exemplu rezolvat. Într-o urnă sunt $5$ bile roșii și $3$ albastre. Extragem pe rând, fără revenire, trei bile. Care este probabilitatea ca toate să fie roșii?

1. $P(R_1)=5/8$.
2. După o bilă roșie rămân $4$ roșii din $7$ bile: $P(R_2\mid R_1)=4/7$.
3. Apoi rămân $3$ roșii din $6$ bile: $P(R_3\mid R_1\cap R_2)=3/6$.
4. Regula produsului dă $\frac{5}{8}\cdot \frac{4}{7}\cdot \frac{3}{6}=\frac{60}{336}=\frac{5}{28}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: după extragerea unei bile roșii fără revenire, probabilitatea alteia rămâne $3/5$.
  Corect: sunt $2$ bile roșii din $4$, deci $2/4=1/2$.
• Greșit: la zar, $P(\text{par}\mid 6)=P(6\mid \text{par})$.
  Corect: $P(\text{par}\mid 6)=1$, pe când $P(6\mid \text{par})=1/3$.
• Greșit: evenimentele incompatibile, de probabilități pozitive, sunt independente.
  Corect: dacă $B$ a avut loc, $A$ nu mai poate avea loc, deci $P(A\mid B)=0$, diferit de $P(A)>0$; evenimentele sunt dependente.
• Greșit: în exemplul cu fete și ochelari, $P(F\mid O)=9/18$, adică numărul fetelor cu ochelari împărțit la numărul fetelor.
  Corect: numitorul este numărul elevilor din evenimentul-condiție, adică al celor cu ochelari: $9/12=3/4$.

Înainte și după