Operații cu evenimente

Evenimentele sunt submulțimi ale spațiului rezultatelor $\Omega$. $A\cup B$ înseamnă „are loc $A$ sau $B$”, inclusiv cazul în care au loc ambele. $A\cap B$ înseamnă „au loc ambele”. Evenimentul contrar $\bar{A}$ conține rezultatele în care $A$ nu are loc. Două evenimente sunt incompatibile dacă intersecția lor este vidă.

Exemplu rezolvat. La aruncarea unui zar, $A=\{2;4;6\}$ („par”) și $B=\{4;5;6\}$ („cel puțin 4”).

1. $A\cap B=\{4;6\}$.
2. $A\cup B=\{2;4;5;6\}$.
3. $\bar{A}=\{1;3;5\}$.

Evenimentele $A$ și $B$ nu sunt incompatibile.

Un experiment are un spațiu al rezultatelor $\Omega$, iar un eveniment este o submulțime $A\subseteq \Omega$. Evenimentul sigur este $\Omega$, cel imposibil este $\varnothing$, iar un eveniment elementar conține un singur rezultat. Dacă $A\subseteq B$, producerea lui $A$ implică producerea lui $B$ și $P(A)\le P(B)$. De exemplu, la un zar, „iese $6$” implică „iese număr par”; pentru $A\subseteq B$ avem $A\cup B=B$ și $A\cap B=A$. Operațiile sunt cele ale mulțimilor: reuniunea $A\cup B$ („cel puțin unul”), intersecția $A\cap B$ („ambele”), diferența $A\setminus B$ („$A$, dar nu $B$”) și contrarul $\bar{A}=\Omega \setminus A$.

Probabilitatea reuniunii este $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Termenul comun se scade fiindcă a fost numărat de două ori. Dacă $A$ și $B$ sunt incompatibile, $P(A\cap B)=0$ și rămâne $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$; aceeași adunare este valabilă pentru oricâte evenimente incompatibile două câte două. Evenimentul „exact unul” este $(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$, cu probabilitatea $P(A)+P(B)-2P(A\cap B)$. Diferența are probabilitatea $P(A\setminus B)=P(A)-P(A\cap B)$, deoarece păstrează doar rezultatele din primul eveniment care nu sunt comune. Legile lui De Morgan sunt $\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}$ (niciun eveniment nu se produce) și $\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$ (cel puțin unul nu se produce). Formulele de mai sus se aplică și când rezultatele elementare nu au aceeași probabilitate; echiprobabilitatea este necesară doar pentru formula clasică de numărare.

Enunțurile se traduc astfel: „cel puțin unul” este $A\cup B$; „ambele” este $A\cap B$; „niciunul” este $\bar{A}\cap \bar{B}=\overline{A\cup B}$; „cel mult unul” este contrarul lui „ambele”, $\overline{A\cap B}$, cu probabilitatea $1-P(A\cap B)$; „numai $A$” este $A\setminus B$.

Exemplu rezolvat. Alegem uniform un jeton numerotat de la $1$ la $12$. Evenimentul $A$ înseamnă „multiplu de $3$”, iar $B$ „număr par”.

1. Avem $A=\{3;6;9;12\}$ și $B=\{2;4;6;8;10;12\}$.
2. Intersecția este $\{6;12\}$, deci $P(A\cap B)=2/12$.
3. Probabilitatea exact unui eveniment este $4/12+6/12-2\cdot 2/12=1/2$.
4. Rezultatele favorabile sunt $2;3;4;8;9;10$: fiecare îndeplinește o singură condiție.
5. Numai $A$ înseamnă $A\setminus B=\{3;9\}$, cu probabilitatea $2/12=1/6$, adică $P(A)-P(A\cap B)=4/12-2/12$.

Exemplu rezolvat. Se aruncă două zaruri. $A$ este evenimentul „suma este $7$”, iar $B$ „primul zar arată $3$”. Calculează $P(A\cup B)$ și probabilitatea ca niciunul să nu se producă.

1. Sunt $36$ de perechi ordonate. Suma $7$ se obține în $6$ moduri, deci $P(A)=6/36$; primul zar arată $3$ în $6$ perechi, deci $P(B)=6/36$.
2. Singura pereche comună este $(3;4)$, deci $P(A\cap B)=1/36$.
3. $P(A\cup B)=6/36+6/36-1/36=11/36$.
4. Niciunul nu se produce cu probabilitatea $1-11/36=25/36$.

Exemplu rezolvat. Dintr-o urnă cu bile numerotate de la $1$ la $20$ extragem una. Fie $M$ evenimentul „multiplu de $4$” și $R$ evenimentul „număr prim”.

1. $M=\{4;8;12;16;20\}$ și $R=\{2;3;5;7;11;13;17;19\}$.
2. Mulțimile nu au elemente comune, deci evenimentele sunt incompatibile.
3. $P(M\cup R)=5/20+8/20=13/20$.

Exemplu rezolvat. Se știe că $P(A)=0,6$, $P(B)=0,5$ și $P(A\cup B)=0,8$. Verificăm dacă evenimentele sunt incompatibile și calculăm $P(\bar{A}\cap \bar{B})$.

1. Din formula reuniunii, $P(A\cap B)=0,6+0,5-0,8=0,3$. Intersecția are probabilitate nenulă, deci evenimentele nu sunt incompatibile.
2. „Niciunul” este contrarul reuniunii: $P(\bar{A}\cap \bar{B})=1-0,8=0,2$.
3. „Exact unul” are probabilitatea $0,8-0,3=0,5$, iar „numai $A$” are $0,6-0,3=0,3$.

Problemele de admitere dau trei probabilități (două evenimente și intersecția lor) și cer una dintre probabilitățile „cel puțin unul”, „niciunul”, „exact unul”, „numai $A$”. Cel mai sigur este să se calculeze întâi $P(A\cup B)$, apoi să se deducă restul din ea.

Problemă. Se cunosc $P(A)=0,7$, $P(B)=0,5$ și $P(A\cap B)=0,3$. Probabilitatea ca exact unul dintre cele două evenimente să se producă este:

• a) $0,1$
• b) $0,3$
• c) $0,4$
• d) $0,6$
• e) $0,9$
• f) $1,2$

Rezolvare. Cel puțin unul se produce cu probabilitatea $P(A\cup B)=0,7+0,5-0,3=0,9$. Exact unul înseamnă cel puțin unul, dar nu ambele: $0,9-0,3=0,6$, adică $0,7+0,5-2\cdot 0,3$. Răspunsul corect este d). Varianta a) este probabilitatea ca niciunul să nu se producă, $1-0,9$. Varianta b) este probabilitatea intersecției. Varianta c) este $P(A\setminus B)=0,7-0,3$, adică numai $A$. Varianta e) este probabilitatea reuniunii, care include și cazul în care se produc ambele. Varianta f) este suma $0,7+0,5$, fără scăderea intersecției.

Alt exemplu. Evenimentele $A$ și $B$ sunt incompatibile, cu $P(A)=0,3$ și $P(B)=0,45$. Probabilitatea ca să se producă $A$ sau $B$ este $0,3+0,45=0,75$, iar probabilitatea ca niciunul să nu se producă este $1-0,75=0,25$. Într-o astfel de problemă nu se scade nicio intersecție, fiindcă ea este vidă. „Exact unul” coincide aici cu „cel puțin unul”, adică tot $0,75$, iar „cel mult unul” este evenimentul sigur, cu probabilitatea $1-P(A\cap B)=1-0=1$.

Alt exemplu. Se cunosc $P(A)=0,5$, $P(B)=0,4$ și $P(A\cup B)=0,7$. Din formula reuniunii, $P(A\cap B)=0,5+0,4-0,7=0,2$. Probabilitatea ca să se producă $B$, dar nu $A$, este $P(B\setminus A)=0,4-0,2=0,2$.

Greșeli frecvente

• Greșit: pentru evenimentele din exemplul cu zarul, probabilitatea reuniunii este $3/6+3/6=1$.
  Corect: se scade intersecția și se obține $4/6$.
• Greșit: în exemplul cu jetoane, „exact unul” include rezultatul $6$.
  Corect: $6$ aparține ambelor evenimente și trebuie eliminat.
• Greșit: $\overline{A\cup B}=\bar{A}\cup \bar{B}$.
  Corect: contrarul reuniunii este intersecția contrarelor, $\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}$; „nici $A$, nici $B$” nu este același lucru cu „cel puțin unul nu are loc”.
• Greșit: evenimentele „iese număr par” și „iese multiplu de $3$” la un zar sunt incompatibile, pentru că sunt diferite.
  Corect: rezultatul $6$ le aparține pe amândouă, deci intersecția nu este vidă.

Înainte și după