Variabile aleatoare și scheme clasice de probabilitate

O variabilă aleatoare discretă asociază un număr fiecărui rezultat posibil. Dacă arunci două monede și $X$ numără aparițiile „cap”, valorile sunt $0;1;2$. Legea lui $X$ precizează probabilitatea fiecărei valori: $P(X=0)=1/4$, $P(X=1)=1/2$, $P(X=2)=1/4$; suma este $1$. Evenimentele independente satisfac $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Dacă depind unul de altul, folosești probabilitatea condiționată $P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$. Pentru încercări repetate independente, cu aceeași probabilitate de succes, se aplică schema lui Bernoulli; dacă probabilitatea de succes diferă de la o încercare la alta, schema lui Poisson.

Legea unei variabile aleatoare. O variabilă aleatoare discretă $X$ ia valorile $x_1;x_2;\dots ;x_m$ cu probabilitățile $p_i=P(X=x_i)$. Legea ei se scrie într-un tabel cu valorile pe un rând și probabilitățile pe celălalt; condițiile sunt $p_i\ge 0$ și $p_1+p_2+\cdots +p_m=1$. Probabilitatea unui eveniment definit prin $X$ se obține adunând probabilitățile valorilor care îl realizează.

Exemplu rezolvat. Se aruncă o monedă de trei ori, iar $X$ este numărul de „cap”-uri.

1. Cele $2^3=8$ rezultate sunt echiprobabile. Valoarea $k$ apare pentru $C_3^k$ rezultate.
2. Legea lui $X$: $P(X=0)=\frac{1}{8}$, $P(X=1)=\frac{3}{8}$, $P(X=2)=\frac{3}{8}$, $P(X=3)=\frac{1}{8}$; suma este $1$.
3. Probabilitatea să apară cel puțin un „cap” este $P(X\ge 1)=\frac{3}{8}+\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac{7}{8}=1-P(X=0)$.

Dependență. În scheme apar două situații. Evenimentele sunt independente când $P(A\cap B)=P(A)P(B)$, ca la aruncări repetate. Într-o urnă cu două bile roșii și una albastră, două extrageri fără revenire sunt dependente: probabilitatea ca ambele să fie roșii este $\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{3}$, deoarece după prima bilă roșie rămâne una roșie din două. Înmulțirea ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$ ar presupune incorect independența.

Schema lui Bernoulli. Se repetă de $n$ ori, independent, un experiment cu două rezultate: succes, cu probabilitatea $p$, și eșec, cu probabilitatea $q=1-p$, aceeași la fiecare încercare. Probabilitatea a exact $k$ succese este $P(X=k)=C_n^k{p}^k{q}^{n-k}$, pentru $k=0;1;\dots ;n$. Probabilitățile însumează ${\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{p}^k{q}^{n-k}=(p+q{)}^n=1$ prin binomul lui Newton.

Exemplu rezolvat. Un trăgător nimerește ținta cu probabilitatea $0,7$ la fiecare foc, independent. Trage de $5$ ori. Calculează probabilitatea a exact $3$ lovituri și a cel puțin unei lovituri.

1. Exact $3$ lovituri: $C_5^3\cdot 0,7^3\cdot 0,3^2=10\cdot 0,343\cdot 0,09=0,3087$.
2. Nicio lovitură: $0,3^5=0,00243$.
3. Cel puțin una: $1-0,00243=0,99757$.

Exemplu rezolvat. O urnă are $3$ bile albe și $2$ negre. Se extrage o bilă, se notează culoarea și se pune la loc, de $4$ ori. Care este probabilitatea să iasă exact $2$ bile albe?

1. Cu revenire, încercările sunt independente, iar $p=\frac{3}{5}$ se păstrează.
2. $P(X=2)=C_4^2{\left(\frac{3}{5}\right)}^2{\left(\frac{2}{5}\right)}^2=6\cdot \frac{9}{25}\cdot \frac{4}{25}=\frac{216}{625}$.

Dacă bilele nu se pun la loc, probabilitatea de succes se schimbă după fiecare extragere și schema lui Bernoulli nu se mai aplică.

Schema lui Poisson de aici privește încercări independente cu probabilități de succes $p_i$ diferite; nu este distribuția Poisson cu parametrul $\lambda$. Probabilitatea a exact $k$ succese este coeficientul lui $t^k$ în produsul $(p_{1}t+q_1)(p_{2}t+q_2)\cdots (p_{n}t+q_n)$, unde $q_i=1-p_i$.

Exemplu rezolvat. Din trei urne se extrage câte o bilă. Probabilitățile de a obține bilă albă sunt $p_1=\frac{1}{2}$, $p_2=\frac{1}{3}$, $p_3=\frac{1}{4}$. Care este probabilitatea să iasă exact două bile albe?

1. Cazurile sunt disjuncte: albe din urnele $1$ și $2$, albe din $1$ și $3$, albe din $2$ și $3$.
2. $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{3}{4}=\frac{1}{8}$; $\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{12}$; $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{24}$.
3. Totalul este $\frac{3}{24}+\frac{2}{24}+\frac{1}{24}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$. Verificare: coeficientul lui $t^2$ în $\left(\frac{t}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{t}{3}+\frac{2}{3}\right)\left(\frac{t}{4}+\frac{3}{4}\right)$ este tot $\frac{1}{4}$.

Greșeli frecvente

• Greșit: evenimentele incompatibile de probabilitate pozitivă sunt independente.
  Corect: dacă unul apare, celălalt nu mai poate apărea, deci sunt dependente.
• Greșit: aplici formula Bernoulli când probabilitatea succesului diferă între încercări.
  Corect: pentru încercări independente cu probabilități diferite folosești schema lui Poisson.
• Greșit: tabelul cu probabilitățile $0,3;0,5;0,4$ este legea unei variabile aleatoare.
  Corect: suma probabilităților trebuie să fie $1$, iar aici este $1,2$.
• Greșit: la două monede, variabila „numărul de cap-uri” are valorile $0;1;2$ cu probabilitatea $\frac{1}{3}$ fiecare, deoarece sunt trei valori.
  Corect: valorile nu sunt echiprobabile; legea este $\frac{1}{4};\frac{1}{2};\frac{1}{4}$, pentru că valoarea $1$ apare în două dintre cele patru rezultate (CS și SC).

Înainte și după