Binomul lui Newton

Pentru $n\in \mathbb{N}$, binomul lui Newton dezvoltă puterea unei sume: $(a+b{)}^n={\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$. Coeficientul $C_n^k$ numără modurile în care putem alege $k$ dintre cei $n$ factori din care luăm $b$. Coeficienții pe rânduri formează triunghiul lui Pascal.

Exemplu rezolvat. Dezvoltă $(x+2{)}^3$.

1. Coeficienții rândului $3$ sunt $1;3;3;1$.
2. Termenii sunt $x^3$, $3x^2\cdot 2$, $3x\cdot 2^2$, $2^3$.
3. Rezultă $x^3+6x^2+12x+8$.

În produsul $(a+b)(a+b)\cdots (a+b)$ cu $n$ factori se alege din fiecare factor fie $a$, fie $b$. Termenul $a^{n-k}{b}^k$ se obține când $b$ este ales din exact $k$ factori, iar aceștia pot fi aleși în $C_n^k$ moduri; de aici formula. Dezvoltarea lui $(a+b{)}^n$ are $n+1$ termeni; de exemplu, $(a+b{)}^{10}$ are $11$ termeni, iar termenul de rang $4$ corespunde lui $k=3$. Termenul general, dacă numerotăm de la $k=0$, este $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$, numit termenul de rang $k+1$. În fiecare termen exponenții lui $a$ și $b$ au suma $n$: primul scade de la $n$ la $0$, al doilea crește de la $0$ la $n$. Coeficienții sunt simetrici, $C_n^k=C_n^{n-k}$: termenii aflați la aceeași distanță de capete au același coeficient. Rândurile triunghiului lui Pascal, de la $n=0$ la $n=5$, sunt $1$; $1;1$; $1;2;1$; $1;3;3;1$; $1;4;6;4;1$; $1;5;10;10;5;1$, fiecare număr fiind suma celor două de deasupra lui (relația $C_n^k=C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k$).

Pentru $a=b=1$ se obține suma coeficienților binomiali, ${\sum }_{k=0}^n{C}_n^k=2^n$. În dezvoltarea lui $(a-b{)}^n$ termenul cu $b^k$ primește factorul $(-1{)}^k$, deci semnele alternează; pentru $a=b=1$ rezultă ${\sum }_{k=0}^n(-1{)}^k{C}_n^k=0$, adică suma coeficienților de rang impar este egală cu cea a coeficienților de rang par, $2^{n-1}$ fiecare.

Coeficienții binomiali cresc până la mijloc și apoi scad. Pentru $n$ par cel mai mare este $C_n^{n/2}$, iar pentru $n$ impar cei mai mari sunt $C_n^{(n-1)/2}=C_n^{(n+1)/2}$. De exemplu, rândul $n=6$ este $1;6;15;20;15;6;1$, iar maximul $20$ este coeficientul termenului de mijloc.

Exemplu rezolvat. Află coeficientul lui $x^2$ în $(1+2x{)}^4$.

1. Alegem $k=2$ în $T_{k+1}=C_4^k\cdot 1^{4-k}(2x{)}^k$.
2. Termenul este $C_4^2(2x{)}^2=6\cdot 4x^2=24x^2$.
3. Coeficientul este $24$.

Exemplu rezolvat. Dezvoltă $(x-2{)}^3$. Termenii sunt $x^3$, $-3x^2\cdot 2$, $3x\cdot 2^2$ și $-2^3$, deci rezultatul este $x^3-6x^2+12x-8$. Verificare: pentru $x=1$ se obține $(1-2{)}^3=-1$, iar $1-6+12-8=-1$.

Exemplu rezolvat. Calculează suma coeficienților polinomului obținut prin dezvoltarea lui $(3x-2{)}^4$.

1. Suma coeficienților unui polinom $P$ este $P(1)$, fiindcă pentru $x=1$ toate puterile lui $x$ devin $1$.
2. $P(1)=(3-2{)}^4=1$.
3. Suma coeficienților este $1$, fără a dezvolta paranteza.

Exemplu rezolvat. Calculează $101^3$ fără înmulțiri lungi.

1. Scriem $101=100+1$ și aplicăm formula pentru $n=3$, cu coeficienții $1;3;3;1$.
2. $(100+1{)}^3=100^3+3\cdot 100^2\cdot 1+3\cdot 100\cdot 1^2+1^3$.
3. Rezultă $1000000+30000+300+1=1030301$.

Exemplu rezolvat. În dezvoltarea lui $(1+x{)}^n$, coeficientul lui $x^2$ este $45$. Află $n$.

1. Termenul general este $T_{k+1}=C_n^k{x}^k$, deci coeficientul lui $x^2$ este $C_n^2$.
2. Condiția $\frac{n(n-1)}{2}=45$ dă $n^2-n-90=0$, cu rădăcinile $10$ și $-9$.
3. Convine $n=10$, număr natural; verificare: $C_{10}^2=45$.

Exemplu rezolvat. Determină termenul de mijloc din dezvoltarea lui ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^6$.

1. Dezvoltarea are $7$ termeni, deci termenul de mijloc este $T_4$ ($k=3$).
2. $T_4=C_6^3{x}^3{\left(\frac{1}{x}\right)}^3=20\cdot x^3\cdot x^{-3}=20$.
3. Când $n$ este impar, dezvoltarea are un număr par de termeni și există doi termeni de mijloc, $T_{(n+1)/2}$ și $T_{(n+3)/2}$.

Problemele cer coeficientul unei puteri, un termen anume sau termenul independent de $x$. Metoda este unică: se scrie termenul general, se aduc toate puterile lui $x$ la un singur exponent și se impune valoarea cerută pentru acest exponent. Semnul și puterile numerelor din paranteză se păstrează cu atenție.

Problemă. Coeficientul lui $x^3$ în dezvoltarea $(2x-1{)}^5$ este:

• a) $-80$
• b) $-40$
• c) $10$
• d) $32$
• e) $40$
• f) $80$

Rezolvare. Termenul general este $T_{k+1}=C_5^k(2x{)}^{5-k}(-1{)}^k$. Puterea $x^3$ apare pentru $5-k=3$, adică $k=2$. Termenul este $C_5^2\cdot 2^3{x}^3\cdot (-1{)}^2=10\cdot 8x^3=80x^3$. Coeficientul este $80$, răspunsul f). Varianta a) este coeficientul lui $x^4$, iar b) coeficientul lui $x^2$: ambele rezultă din alt rang, cu semn negativ. Varianta c) uită factorul $2^3$. Varianta d) este $2^5$, coeficientul lui $x^5$. Varianta e) ia $2^2$ în loc de $2^3$, adică exponentul lui $2$ ales greșit. Verificare rapidă: coeficienții dezvoltării sunt $32;-80;80;-40;10;-1$, iar suma lor este $32-80+80-40+10-1=1=(2\cdot 1-1{)}^5$.

Alt exemplu. Al patrulea termen din dezvoltarea lui $(x+2{)}^6$ este $T_4$, deci $k=3$ (rangul este $k+1$): $T_4=C_6^3{x}^3\cdot 2^3=20\cdot 8x^3=160x^3$. Confuzia frecventă este să se ia $k=4$, ceea ce dă termenul al cincilea, $C_6^4{x}^2\cdot 2^4=240x^2$.

Alt exemplu. În dezvoltarea lui $(1+x{)}^n$ coeficienții lui $x^3$ și $x^4$ sunt egali. Din $C_n^3=C_n^4$ și simetria combinărilor ($3+4=n$) rezultă $n=7$; verificare: $C_7^3=C_7^4=35$.

Alt exemplu. Termenul independent de $x$ din ${\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^6$, pentru $x\ne 0$: termenul general este $C_6^k{x}^{2(6-k)}{x}^{-k}=C_6^k{x}^{12-3k}$. Exponentul trebuie să fie zero: $12-3k=0$, deci $k=4$. Termenul cerut este $C_6^4=15$.

Greșeli frecvente

• Greșit: exponentul lui $a$ rămâne $n$ în fiecare termen.
  Corect: scade de la $n$ la $0$, iar al lui $b$ crește de la $0$ la $n$.
• Greșit: coeficienții sunt mereu $1$ ca la o putere simplă.
  Corect: sunt coeficienții binomiali; în $(x+2{)}^3$ ei sunt $1;3;3;1$, iar în $(x+y{)}^4$ sunt $1;4;6;4;1$.
• Greșit: semnele din $(a-b{)}^n$ sunt toate pozitive.
  Corect: alternează după paritatea exponentului lui $b$.
• Greșit: în $(2x+3{)}^4$ coeficientul lui $x^2$ este $C_4^2=6$.
  Corect: se înmulțește cu puterile numerelor din paranteză: $C_4^2\cdot 2^2\cdot 3^2=6\cdot 4\cdot 9=216$.

Înainte și după

Întrebări frecvente