Permutări

O permutare este o ordine a tuturor celor $n$ obiecte distincte. Numărul permutărilor este $P_n=n!=1\cdot 2\cdots n$, cu convenția $0!=1$. Pentru trei obiecte A, B, C există $3!=6$ ordini.

Exemplu rezolvat. Câte ordini pot avea patru cărți diferite pe un raft?

1. Prima poziție are $4$ opțiuni.
2. Următoarele au $3$, apoi $2$, apoi $1$.
3. Numărul este $4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=4!=24$.

Formula $P_n=n!$ rezultă din principiul înmulțirii: prima poziție are $n$ alegeri, a doua $n-1$, și tot așa până la ultima, care are una singură. De aici $n!=n\cdot (n-1)!$, relație utilă la simplificarea rapoartelor de factoriale: $\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=(n+1)\cdot n$. Valorile cresc repede: $5!=120$, iar $10!=3628800$.

Dacă unele obiecte sunt identice, ordonările obiectelor considerate distincte se grupează în câte $r_1!\cdot r_2!\cdots r_k!$ ordonări care dau aceeași înșiruire: în fiecare grup de obiecte identice, cele $r_i!$ schimbări între ele nu produc un șir nou. Pentru $n$ obiecte, dintre care grupe identice de mărimi $r_1;\dots ;r_k$, numărul înșirurilor distincte este $\frac{n!}{r_1!\cdots r_k!}$. Formula cere ca grupele de obiecte identice să fie precizate complet.

Exemplu rezolvat. Câte cuvinte distincte se formează din literele A, A, B?

1. Dacă literele A ar fi diferite, ar fi $3!=6$ ordini.
2. Schimbarea celor două A nu produce cuvânt nou, deci împărțim la $2!$.
3. Rezultă $3$ cuvinte: AAB, ABA, BAA.

Exemplu rezolvat. Câte șiruri distincte se obțin prin permutarea literelor cuvântului ANANAS?

1. Cuvântul are $6$ litere: A de trei ori, N de două ori, S o dată.
2. Cele $6!=720$ de ordini ale unor litere considerate diferite se grupează câte $3!\cdot 2!=12$ în același șir.
3. Numărul șirurilor este $\frac{6!}{3!2!}=\frac{720}{12}=60$.

Același raționament se aplică oricărui cuvânt. Cuvântul MATEMATICA are $10$ litere: M de două ori, A de trei ori, T de două ori, iar E, I și C câte o dată. Numărul anagramelor este $\frac{10!}{2!3!2!}=\frac{3628800}{24}=151200$. Numitorul conține câte un factorial pentru fiecare literă care se repetă; literele care apar o singură dată contribuie cu $1!=1$.

Exemplu rezolvat. Rezolvă ecuația $\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=56$, cu $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

1. Simplificăm: $\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=(n+1)\cdot n$, deci $n^2+n=56$.
2. Ecuația $n^2+n-56=0$ are rădăcinile $n=7$ și $n=-8$.
3. Convine numai $n=7$, deoarece $-8$ nu este număr natural; verificare: $\frac{8!}{6!}=8\cdot 7=56$.

Exemplu rezolvat. Șapte elevi se așază pe un banc lung. În câte moduri stau trei elevi anume alături?

1. Cei trei elevi formează un bloc, tratat ca un singur obiect. Împreună cu ceilalți patru elevi avem $5$ obiecte, care se ordonează în $5!=120$ de moduri.
2. În interiorul blocului, cei trei elevi se ordonează în $3!=6$ moduri.
3. Cele două alegeri sunt succesive, deci se înmulțesc: $120\cdot 6=720$ de așezări.

Exemplu rezolvat. Câte numere de $5$ cifre se formează cu toate cifrele $1;2;3;4;5$, fiecare folosită o singură dată, astfel încât numărul să fie par?

1. Ultima cifră trebuie să fie pară, deci $2$ sau $4$: $2$ alegeri.
2. Celelalte patru cifre se așază pe primele patru poziții în orice ordine: $4!=24$ moduri.
3. Se obțin $2\cdot 24=48$ de numere. Dacă enunțul cere numere divizibile cu $5$, ultima cifră este $5$ și rămân $4!=24$ numere.

Permutările unei mulțimi cu $n$ elemente sunt toate ordonările ei, deci numărul lor este $n!$. Compunerea permutărilor, inversiunile și semnul lor se studiază în lecția Permutări: operații, inversiuni și semn.

La grilă, permutările apar împreună cu restricții de poziție. Cifra $0$ nu poate fi prima într-un număr; obiectele alăturate se tratează ca bloc; condiția „nu stau alături” se rezolvă prin complement: total minus cazul alăturat. Un bloc de $m$ obiecte distincte se ordonează în interior în $m!$ moduri; dacă obiectele din bloc sunt identice, interiorul are o singură ordonare.

Problemă. Câte numere de $5$ cifre distincte se pot forma cu cifrele $0;1;2;3;4$?

• a) $24$
• b) $72$
• c) $96$
• d) $120$
• e) $480$
• f) $2500$

Rezolvare. Prima cifră nu poate fi $0$, deci are $4$ alegeri. Celelalte patru poziții primesc cele patru cifre rămase, în orice ordine: $4!=24$. Numărul cerut este $4\cdot 24=96$. Verificare prin complement: toate ordinile sunt $5!=120$, iar cele cu $0$ în față sunt $4!=24$, deci $120-24=96$. Răspunsul corect este c). Varianta a) uită alegerea primei cifre. Varianta b) scade cazurile cu $0$ în față de două ori: $120-2\cdot 24=72$. Varianta d) numără toate ordinile, inclusiv cele care încep cu $0$. Varianta e) înmulțește prima cifră cu $5!$ în loc de $4!$. Varianta f) este $4\cdot 5^4$ și permite repetarea cifrelor.

Alt exemplu. Câte anagrame ale cuvântului ROMANIA au cele două litere A nealăturate? Cuvântul are $7$ litere, A de două ori, deci toate anagramele sunt $\frac{7!}{2!}=2520$. Dacă cele două A formează un bloc, rămân $6$ obiecte (blocul și R, O, M, N, I), adică $6!=720$ anagrame. Cele cu A nealăturate sunt $2520-720=1800$.

Greșeli frecvente

• Greșit: pentru $n$ obiecte distincte se folosesc $n^n$ ordini.
  Corect: fără repetare sunt $n!$ permutări.
• Greșit: obiectele identice sunt tratate ca diferite în răspunsul final; pentru ANANAS rezultă $720$ de cuvinte.
  Corect: se împarte la factorialele multiplicităților, $\frac{6!}{3!2!}=60$.
• Greșit: $0!=0$.
  Corect: prin convenție $0!=1$.
• Greșit: $\frac{(n+1)!}{(n-1)!}=2$, fiindcă „factorialele se simplifică ca puterile”.
  Corect: $(n+1)!=(n+1)\cdot n\cdot (n-1)!$, deci raportul este $(n+1)\cdot n$.

Înainte și după

Întrebări frecvente