Aranjamente

Un aranjament de $n$ obiecte luate câte $k$ este o alegere a $k$ obiecte distincte în care ordinea contează. Numărul este $A_n^k=n(n-1)\cdots (n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$, pentru $0\le k\le n$.

Exemplu rezolvat. Alege președinte și secretar din $5$ elevi.

1. Pentru președinte există $5$ alegeri.
2. Pentru secretar rămân $4$.
3. Sunt $5\cdot 4=20=A_5^2$ repartizări; schimbarea rolurilor produce alt aranjament.

Se citește „aranjamente de $n$ luate câte $k$”; pentru $k>n$ nu există aranjamente, fiindcă nu se pot alege $k$ obiecte distincte dintre mai puține de $k$. Formula provine din principiul înmulțirii fără repetare: prima poziție are $n$ alegeri, a doua $n-1$, iar a $k$-a are $n-k+1$. Pentru $k=n$ aranjamentele devin permutări, $A_n^n=n!$, iar pentru $k=0$ avem $A_n^0=\frac{n!}{n!}=1$ (alegerea nu conține niciun obiect). Dacă repetarea este permisă, numărul șirurilor de lungime $k$ din $n$ simboluri este $n^k$, nu $A_n^k$. Numărul funcțiilor injective de la o mulțime cu $k$ elemente la una cu $n$ elemente este tot $A_n^k$: imaginea fiecărui element trebuie să fie diferită de imaginile elementelor anterioare.

Alegerea primului obiect se face în $n$ moduri, iar restul de $k-1$ poziții se completează din cele $n-1$ obiecte rămase, de unde $A_n^k=n\cdot A_{n-1}^{k-1}$. Aceeași idee numără aranjamentele cu o poziție fixată: dacă un obiect anume ocupă o poziție dată, restul de $k-1$ poziții se completează în $A_{n-1}^{k-1}$ moduri.

Exemplu rezolvat. Un steag are trei benzi orizontale de culori diferite, alese dintre roșu, galben, albastru, verde și alb. Câte steaguri sunt posibile și câte au banda de sus roșie?

1. Culorile sunt diferite și ordinea benzilor contează, deci numărul steagurilor este $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$.
2. Dacă banda de sus este roșie, celelalte două benzi se aleg ordonat din cele $4$ culori rămase: $A_4^2=4\cdot 3=12$.
3. Steagurile cu banda de sus roșie sunt $12$ dintre cele $60$.

Exemplu rezolvat. Opt alergători participă la o finală. Câte podiumuri (locul I, II, III) sunt posibile?

1. Se aleg $3$ dintre cei $8$ alergători, iar ordinea contează, fiindcă locurile sunt diferite.
2. Locul I are $8$ alegeri, locul II are $7$, locul III are $6$.
3. Numărul podiumurilor este $A_8^3=8\cdot 7\cdot 6=336$.

Exemplu rezolvat. Câte coduri de trei cifre distincte se pot forma din $0;1;2;3$ dacă zero poate fi prima cifră?

1. Prima poziție are $4$ opțiuni.
2. Următoarele au $3$ și $2$.
3. Sunt $4\cdot 3\cdot 2=24=A_4^3$ coduri.

Un cod poate începe cu zero, dar un număr natural cu mai multe cifre nu. Exemplu rezolvat. Câte numere de două cifre distincte se formează din $\{0;1;2;3\}$? Zecile au $3$ variante nenule. Pentru fiecare, unitățile au $3$ variante rămase, inclusiv zero. Rezultatul este $3\cdot 3=9$, nu $A_4^2=12$, deoarece trei dintre coduri ar începe cu zero. Condiția privind prima cifră schimbă numărul posibilităților numai la acea poziție.

Aranjamentele apar și în ecuații, caz în care condiția de existență ($n\in \mathbb{N}$ și $n\ge k$) se scrie înainte de calcul. Exemplu rezolvat. Rezolvă ecuația $A_n^3=6A_n^2$.

1. Condiția de existență: $n\in \mathbb{N}$ și $n\ge 3$.
2. Scriem $n(n-1)(n-2)=6n(n-1)$. Pentru $n\ge 3$ factorul $n(n-1)$ este nenul, deci îl simplificăm: $n-2=6$.
3. Rezultă $n=8$, care verifică $n\ge 3$. Verificare: $A_8^3=336$ și $6A_8^2=6\cdot 56=336$.

Aranjamentele fără repetiție numără selecții ordonate: $A_n^k=n!/(n-k)!$. Pe un test, prima întrebare este dacă enunțul spune că poziția contează (clasament, cod, număr, funcții); a doua, dacă repetarea este interzisă (cifre sau obiecte distincte). Apoi se pot elimina variantele imposibile: numerele de patru cifre distincte sunt o parte din cele $A_{10}^4=5040$ de șiruri de patru cifre distincte, deci orice răspuns mai mare decât $5040$ este greșit.

Problemă. Câte numere naturale de patru cifre distincte există?

• a) $3024$
• b) $4536$
• c) $5040$
• d) $6561$
• e) $9000$
• f) $10000$

Rezolvare. Prima cifră nu poate fi $0$: $9$ alegeri. A doua cifră poate fi $0$, dar nu cifra deja folosită: $9$ alegeri. A treia: $8$. A patra: $7$. Numărul este $9\cdot 9\cdot 8\cdot 7=4536$. Verificare prin complement: șirurile de patru cifre distincte sunt $A_{10}^4=5040$, iar cele cu $0$ în față sunt $A_9^3=504$, deci $5040-504=4536$. Răspunsul corect este b). Varianta a) este $A_9^4$ și exclude cifra $0$ de pe toate pozițiile. Varianta c) este $A_{10}^4$ și include șirurile care încep cu $0$. Varianta d) este $9^4$ și permite repetarea cifrelor $1$–$9$. Varianta e) este $9\cdot 10^3$, adică numerele de patru cifre cu repetare permisă. Varianta f) numără toate șirurile de patru cifre, $10^4$.

Alt exemplu. Din $7$ cărți diferite se așază trei pe un raft, în ordine. Sunt $A_7^3=7\cdot 6\cdot 5=210$ de așezări. Dacă o carte anume trebuie să fie prima, rămân de așezat două cărți din cele $6$ rămase: $A_6^2=6\cdot 5=30$ de așezări.

Greșeli frecvente

• Greșit: se folosesc combinările când rolurile sunt diferite.
  Corect: rolurile fac ordinea relevantă, deci se folosesc aranjamente; pentru președinte și secretar din $5$ elevi sunt $A_5^2=20$ variante, nu $C_5^2=10$.
• Greșit: $A_n^k$ permite repetarea obiectelor.
  Corect: formula este pentru alegere fără repetare; cu repetare, șirurile de lungime $k$ sunt $n^k$.
• Greșit: un număr de trei cifre distincte din $0;1;2;3$ se numără prin $A_4^3=24$.
  Corect: un număr de trei cifre nu poate începe cu $0$, deci sunt $3\cdot 3\cdot 2=18$ numere; $24$ numără și codurile care încep cu $0$.
• Greșit: $A_n^k=\frac{n!}{k!}$.
  Corect: $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$; de exemplu $A_5^2=\frac{5!}{3!}=20$.

Înainte și după

Întrebări frecvente