Subgrupuri și morfisme

Un subgrup al grupului $(G,\ast )$ este o submulțime nevidă $H\subseteq G$ care formează grup cu aceeași lege. Un morfism de grupuri $f:(G,\ast )\to (G^{\prime },\circ )$ este o funcție cu $f(x\ast y)=f(x)\circ f(y)$ pentru orice $x,y\in G$; dacă $f$ este și bijectivă, se numește izomorfism, iar grupurile se numesc izomorfe. Ordinul unui element $x$ este cel mai mic număr natural $n\ge 1$ cu $x^n=e$ (în scriere aditivă, $nx=0$); dacă un astfel de $n$ nu există, ordinul este infinit.

Un izomorfism arată că două grupuri au aceeași structură: o proprietate algebrică a unuia (comutativitatea, ordinul elementelor, numărul de elemente) o are și celălalt. De aceea o problemă dintr-un grup definit printr-o formulă complicată se poate muta într-un grup cunoscut, rezolva acolo și transfera înapoi.

Criterii de subgrup. O submulțime nevidă $H\subseteq G$ este subgrup dacă și numai dacă este îndeplinită una dintre condițiile echivalente:

1. $H$ este parte stabilă și simetricul oricărui element din $H$ aparține lui $H$;
2. pentru orice $x,y\in H$, avem $x\ast y^{\prime }\in H$ (în scriere aditivă, $x-y\in H$).

Orice subgrup conține neutrul lui $G$. De pildă, $3\mathbb{Z}=\{3k\mid k\in \mathbb{Z}\}$ este subgrup al lui $(\mathbb{Z},+)$: este nevidă ($0\in 3\mathbb{Z}$), iar $3a-3b=3(a-b)\in 3\mathbb{Z}$. În schimb $\mathbb{N}$ este parte stabilă a lui $(\mathbb{Z},+)$, dar nu subgrup, deoarece $1\in \mathbb{N}$ și $-1\notin \mathbb{N}$.

Proprietăți ale morfismelor. Dacă $f:G\to G^{\prime }$ este morfism, atunci $f(e)=e^{\prime }$ și $f(x^{\prime })=f(x{)}^{\prime }$. Prima rezultă din $f(e)=f(e\ast e)=f(e)\circ f(e)$, după simplificare cu $f(e)$. Nucleul $\mathrm{Ker}f=\{x\in G\mid f(x)=e^{\prime }\}$ și imaginea $\mathrm{Im}f=f(G)$ sunt subgrupuri ale lui $G$, respectiv $G^{\prime }$. Funcția $f$ este injectivă dacă și numai dacă $\mathrm{Ker}f=\{e\}$.

Exemplu rezolvat 1: un izomorfism. Pe $\mathbb{R}$ definim $x\ast y=x+y-3$. Arătăm că $f:(\mathbb{R},+)\to (\mathbb{R},\ast )$, $f(x)=x+3$, este izomorfism.

1. Pentru orice $x,y$: $f(x+y)=x+y+3$, iar $f(x)\ast f(y)=(x+3)+(y+3)-3=x+y+3$. Funcția este morfism.
2. Funcția este bijectivă: inversa ei este $f^{-1}(t)=t-3$.
3. Neutrul $0$ al lui $(\mathbb{R},+)$ este trimis în $f(0)=3$, care este neutrul lui $\ast$, deoarece $x\ast 3=x$.
4. Transfer: simetricul lui $x$ față de $\ast$ este $f(-f^{-1}(x))=-(x-3)+3=6-x$; într-adevăr $x\ast (6-x)=3$.

Exemplu rezolvat 2: ordinul unui element. În $({\mathbb{Z}}_{12},+)$ ordinul lui $\hat{k}$ este cel mai mic $n\ge 1$ cu $n\hat{k}=\hat{0}$, adică $12\mid nk$. El este $\frac{12}{\mathrm{cmmdc}(12;k)}$.

1. Pentru $\hat{8}$: multiplii sunt $\hat{8}$, $\widehat{16}=\hat{4}$, $\widehat{24}=\hat{0}$, deci ordinul este $3=\frac{12}{4}$.
2. Pentru $\hat{5}$: $\mathrm{cmmdc}(12;5)=1$, deci ordinul este $12$ și $\hat{5}$ generează tot grupul.
3. Pentru $\hat{6}$: $\hat{6}+\hat{6}=\widehat{12}=\hat{0}$, deci ordinul este $2$.

Alte exemple: în $({\mathbb{R}}^{\ast },\cdot )$, elementul $-1$ are ordinul $2$, iar $2$ are ordinul infinit (puterile lui $2$ nu revin la $1$); în $({\mathbb{C}}^{\ast },\cdot )$, $i$ are ordinul $4$. Într-un grup finit orice element are ordin finit: puterile $x,x^2,x^3,\dots$ nu pot fi toate distincte, iar o repetiție $x^i=x^j$ cu $i<j$ dă, prin simplificare, $x^{j-i}=e$.

Exemplu rezolvat 3: subgrupurile lui $({\mathbb{Z}}_6,+)$. Un subgrup care conține un element $\hat{k}$ conține și multiplii lui $n\hat{k}$.

1. Elementele $\hat{1}$ și $\hat{5}$ au ordinul $6$, deci un subgrup care le conține este ${\mathbb{Z}}_6$.
2. Elementele $\hat{2}$ și $\hat{4}$ dau multiplii $\{\hat{0};\hat{2};\hat{4}\}$, mulțime stabilă la adunare și la luarea opusului.
3. Elementul $\hat{3}$ dă $\{\hat{0};\hat{3}\}$.
4. Un subgrup care conține și $\hat{2}$, și $\hat{3}$ conține $\hat{3}-\hat{2}=\hat{1}$, deci este tot ${\mathbb{Z}}_6$.

Subgrupurile sunt $\{\hat{0}\}$, $\{\hat{0};\hat{3}\}$, $\{\hat{0};\hat{2};\hat{4}\}$ și ${\mathbb{Z}}_6$: patru în total.

Grupuri neizomorfe. Izomorfismul păstrează numărul de elemente, comutativitatea și ordinul elementelor. Grupurile $({\mathbb{Z}}_6,+)$ și $S_3$ au câte $6$ elemente, dar nu sunt izomorfe: primul este abelian, al doilea nu. Ordinele arată același lucru: în ${\mathbb{Z}}_6$ există elemente de ordin $6$, iar în $S_3$ ordinul maxim este $3$.

Pentru un morfism propus, verifici relația $f(x\ast y)=f(x)\circ f(y)$ cu operația corectă pe fiecare parte. La nucleu rezolvi $f(x)=e^{\prime }$, cu $e^{\prime }$ neutrul grupului destinație.

Problemă. Ordinul elementului $\hat{9}$ în grupul $({\mathbb{Z}}_{12},+)$ este:

• a) $3$
• b) $4$
• c) $9$
• d) $12$
• e) $36$
• f) $108$

Rezolvare. Căutăm cel mai mic $n\ge 1$ pentru care $n\hat{9}=\hat{0}$, adică $12\mid 9n$. Cum $\mathrm{cmmdc}(12;9)=3$, condiția devine $4\mid 3n$, deci $4\mid n$ și cel mai mic $n$ este $4$. Verificare: multiplii lui $\hat{9}$ sunt $\hat{9}$, $\widehat{18}=\hat{6}$, $\widehat{27}=\hat{3}$, $\widehat{36}=\hat{0}$. Răspunsul corect este b). Varianta a) este $\mathrm{cmmdc}(12;9)$, nu $\frac{12}{\mathrm{cmmdc}(12;9)}$. Varianta c) ia reprezentantul $9$ drept ordin. Varianta d) presupune că orice element nenul generează grupul. Varianta e) este $\mathrm{cmmmc}(12;9)$, adică primul multiplu comun, nu numărul de pași. Varianta f) este produsul $12\cdot 9$.

Alt exemplu. Câte morfisme $f:(\mathbb{Z},+)\to ({\mathbb{Z}}_6,+)$ există? Din $f(n)=nf(1)$ rezultă că $f$ este complet determinat de clasa $f(1)\in {\mathbb{Z}}_6$, iar pentru fiecare alegere a ei funcția $n\mapsto nf(1)$ este morfism. Există deci $6$ morfisme. Dintre ele sunt surjective exact cele pentru care $f(1)$ generează ${\mathbb{Z}}_6$, adică $f(1)\in \{\hat{1};\hat{5}\}$: $2$ morfisme.

Alt exemplu. Cu legea $x\ast y=x+y-3$ pe $\mathbb{R}$, determinăm numerele $a,b$ pentru care $f:(\mathbb{R},+)\to (\mathbb{R},\ast )$, $f(x)=ax+b$, este morfism. Din $f(x+y)=a(x+y)+b$ și $f(x)\ast f(y)=ax+ay+2b-3$ rezultă condiția $b=2b-3$, adică $b=3$. Morfismele sunt $f(x)=ax+3$ pentru orice $a\in \mathbb{R}$, iar izomorfismele sunt cele cu $a\ne 0$, fiindcă numai atunci $f$ este bijectivă.

Greșeli frecvente

• Greșit: orice submulțime închisă la operație este subgrup.
  Corect: trebuie și neutru, și simetrice; $\mathbb{N}$ este stabilă în $(\mathbb{Z},+)$, dar $1$ nu are opus în $\mathbb{N}$.
• Greșit: orice funcție între două grupuri este morfism.
  Corect: trebuie să păstreze operația; $f(x)=x^2$ nu este morfism de la $(\mathbb{R},+)$ la $(\mathbb{R},+)$, fiindcă $f(1+1)=4\ne 2=f(1)+f(1)$.
• Greșit: nucleul lui $f:(\mathbb{R},+)\to ((0;+\infty ),\cdot )$, $f(x)=2^x$, se află din $2^x=0$.
  Corect: ecuația folosește neutrul destinației, $1$; din $2^x=1$ rezultă $x=0$, deci $\mathrm{Ker}f=\{0\}$.
• Greșit: ordinul lui $\hat{k}$ în $({\mathbb{Z}}_n,+)$ este $k$.
  Corect: este $\frac{n}{\mathrm{cmmdc}(n;k)}$; în ${\mathbb{Z}}_{12}$, elementul $\hat{8}$ are ordinul $3$.
• Greșit: două grupuri cu același număr de elemente sunt izomorfe.
  Corect: $({\mathbb{Z}}_6,+)$ este abelian, iar $S_3$ nu; deci nu sunt izomorfe.

Înainte și după